人教A版必修2 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 学案.doc

21.2空间中直线与直线之间的位置关系1掌握空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义中“不同在”的含义2知道两条异面直线所成角的意义，掌握两条直线垂直的含义3理解并掌握公理4和等角定理，并能解决有关问题1异面直线(1)概念：不同在_平面内的两条直线叫做异面直线对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线“异面”的含义就是“不能共面”的意思定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”(2)图示：如图a，b所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托【做一做1】 如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，与aa1异面的是()aab bbb1 cdd1 db1c12空间两条直线的位置关系(1)相交直线同一平面内，_一个公共点；(2)平行直线同一平面内，_公共点；(3)异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点(1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线；(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是()a相交b异面c平行 d相交或异面3公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相_图形语言符号语言直线a，b，c，ab，bc_作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的_公理4是今后论证平行问题的主要依据在公理4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况【做一做3】 如图所示，在正方体abcdabcd中，e，f，e，f分别是ab，bc，ab，bc的中点，求证：eeff.4等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_或_图形语言符号语言oaoa，obobaobaob或aobaob180作用证明两个角相等或互补等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立【做一做4】 已知bac30，abab，acac，则bac()a30 b150c30或150 d大小无法确定5两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点o作直线aa，bb，我们把a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)在定义中，空间一点o是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a，b所成的锐角(或直角)相等，而与点o的位置无关异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的(2)范围：_.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是_，那么就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a，b，记作a_b.两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直【做一做5】 在长方体abcdabcd中，与棱aa垂直且异面的棱有_答案：1(1)任何一个【做一做1】 d2(1)有且只有(2)没有【做一做2】 d3平行ac传递性【做一做3】 证明：e，e分别是ab，ab的中点，bebe，且bebe.四边形ebbe是平行四边形eebb，同理可证ffbb.eeff.4相等互补【做一做4】 c5(1)锐角直角(2)(0，90(3)直角【做一做5】 bc，bc，cd，cd1对异面直线的理解剖析：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线要注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b这两条直线. 例如，如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，棱ab和b1c1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，则ab和b1c1是异面直线要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面有以下方法可以判断两条直线是异面直线：定义法(直观判断法)：由定义判断两条直线不可能在同一个平面内或者用下面的结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 用符号语言表示为：b，a，a，aa，则a与直线ab为异面直线如图所示排除法：排除两条直线共面(平行或相交)，则两条直线是异面直线2作出两条异面直线所成的角剖析：根据异面直线所成角的定义，通常在两条异面直线中的一条直线上取一点，然后只需作另一条直线的平行线即可但是，在作辅助线之前最好观察图形，看看在所给的图形中，有没有满足定义的角，如果没有，再作辅助线例如，如图所示的正方体abcda1b1c1d1中，直线ab和b1c1是异面直线由于aba1b1，则a1b1c1就是它们所成的角，当然abc也是它们所成的角；对于异面直线ad1和b1c来说，在图中就没有它们所成的角，这就需要作辅助线，连接bc1交b1c于e，则bc1ad1，故c1ec是异面直线ad1和b1c所成的角很明显c1ec是等腰直角三角形，c1ec90，即异面直线ad1和b1c所成的角为90.题型一：空间两条直线位置关系的判定【例1】 已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明反思：判定两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交，可用平面几何中的定义和方法来处理；判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断在解答本题的过程中，易出现这样的错误：a与b异面，b与c异面，则a与c异面事实上，异面这种位置关系，不像平行一样具有传递性题型二：求两条异面直线所成的角【例2】 如图所示，空间四边形abcd中，abcd，abcd，e，f分别为bc，ad的中点，求ef和ab所成的角反思：(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤：作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；证：证明作出的角就是要求的角；计算：求角的值，常利用解三角形因此可用“一作二证三计算”来概括(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况(3)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧题型三：公理4的应用【例3】 已知正方体abcda1b1c1d1，e，f分别为aa1，cc1的中点求证：bfed1.反思：证明两条直线平行时，若能证明它们分别平行于第三条直线，根据公理4，则这两条直线平行，此法又称为中间量法题型四：等角定理的应用【例4】 如图所示，oa，ob，oc为不共面的三条射线，点a1，b1，c1分别是oa，ob，oc上的点，且成立求证：a1b1c1abc.反思：在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行答案：【例1】 解：直线a与c的位置关系有三种情况，如图所示直线a与c可能平行，如图；可能相交，如图；可能异面，如图.【例2】 解：如图所示，取bd的中点g，连接eg，fg. e，f分别为bc，ad的中点，abcd，egcd，gfab，且egcd，gfab.gfe就是ef与ab所成的角，且eggf.abcd，eggf.egf90，efg为等腰直角三角形gfe45，即ef与ab所成的角为45.【例3】 证明：如图，取bb1的中点g，连接gc1，ge. f为cc1的中点，bgc1f，且bgc1f，四边形bgc1f为平行四边形bfgc1.又ega1b1，a1b1c1d1，且ega1b1，a1b1c1d1，egc1d1，且egc1d1，四边形egc1d1为平行四边形ed1gc1.bfed1.【例4】 证明：在oab中，a1b1ab.同理可证a1c1ac，b1c1bc.c1a1b1cab，a1b1c1abc.a1b1c1abc.1若直线a，b，c满足ab，a，c异面，则b与c()a一定是异面直线b一定是相交直线c不可能是平行直线 d不可能是相交直线2直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()a相交b平行c异面d以上都有可能3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线ac与b1c1所成的角等于_4在空间四边形abcd中，如图所示，则eh与fg的位置关系是_5已知e，e1分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ad，a1d1的中点，求证：becb1e1c