人教A版必修2 2.1.1平面 学案.doc

21.1平面1知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数1平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限_的画法通常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成45，且横边长等于其邻边长的_倍，如图a所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_画出来，如图b所示记法(1)用一个_，等来表示，如上图a中的平面记为平面(2)用两个大写的_(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图a中的平面记为平面ac或平面bd(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图a中的平面记为平面abc或平面_等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的_)来表示，如上图a中的平面可记作平面abcd习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面【做一做1】 如图所示的平行四边形mnpq表示的平面不能记为() a平面mnb平面nqpc平面d平面mnpq2点、线、面的位置关系的表示a是点，l，m是直线，是平面文字语言符号语言图形语言a在l上_a在l外_a在内_a在外_l在内_l在外_或l，m相交于a_l，相交于a_，相交于l_从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示【做一做21】 若点m在直线a上，a在平面内，则m，a，之间的关系可记为()ama，abma，acma，a dma，a【做一做22】 平面与平面相交于直线m，用符号语言表示为_3公理1文字语言如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言al，bl，且a，b_作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面公理1的内容反映了直线与平面的位置关系“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内【做一做3】 已知直线m平面，pm，qm，则()ap，q bp，qcp，q dq4公理2文字语言过_一条直线上的三点，有且只有一个平面图形语言符号语言a，b，c三点_有且只有一个平面，使a，b，c作用确定平面证明点共面(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现【做一做4】 三点可确定平面的个数是()a0 b1 c2 d1或无数个5公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个_，那么它们有且只有一条过该点的公共_图形语言符号语言pl且_作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点公理3反映了两个平面的位置关系条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面【做一做5】 如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()a没有其他公共点b仅有这一个公共点c仅有两个公共点d有无数个公共点答案：1延展平行四边形2虚线(1)希腊字母(2)英文字母(3)bcd(4)顶点【做一做1】 a2alalaalllmalal【做一做21】 b【做一做22】 m3两点l【做一做3】 d4不在不共线【做一做4】 d5公共点直线pl【做一做5】 d1对平面的理解剖析：几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念生活中的平面是比较平整、有限的；而几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延伸的几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的，可以向四周无限延伸总结起来，平面应具有如下特点：(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分生活中的一些物体通常呈平面形状，如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象这种借助于实例引入平面的概念是必要的，对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解，即任何一个平面都把空间分成两部分2公理2的推论剖析：由公理2可以得到三个推论，如下表语言形式推论1推论2推论3文字语言经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面一条直线和其外一点确定一个平面两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面图形语言符号语言aa有且只有一个平面，使a，aabp有且只有一个平面，使a，bab有且只有一个平面，使a，b下面仅证明推论2，另两个推论自己证明推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线abp.求证：经过直线a，b有且只有一个平面证明：如图所示，在直线a，b上分别取与p不同的点a和b，则a，b，p是不共线的三点，则过这三点有且只有一个平面.aa，pa，a，p，a.同理，b，平面是经过直线a，b的一个平面假设经过直线a，b还有一个平面，那么a，b，p三点也一定在平面内这样过不共线的三点a，b，p就有两个平面和，这与公理2矛盾经过相交直线a，b只有一个平面.由和，知经过直线a，b有且只有一个平面这三个推论与公理2的作用相同，都是确定平面的依据对于两两平行的三条直线，当它们共面时，确定1个平面；当它们不共面时，它们中任意两条直线确定一个平面，则此时可确定3个平面综上可得，两两平行的三条直线确定1个或3个平面3辨析三种数学语言剖析：文字语言比较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明确地叙述出来，教材上的概念、定理等多以文字叙述；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用；符号语言简洁、精练，能够明确地表达空间中点、线、面之间的关系符号语言是数学中常用的一种语言，要熟练地掌握符号语言、文字语言、图形语言之间的转化题型一：判断确定平面的个数【例1】 一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是()a4 b6 c7 d10反思：确定平面的问题要利用公理2及三个推论，要想确定的平面最多，那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来本题容易产生的错误是先在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面共有7个平面，误选c；或者是认为这5个点中任取3个点可确定一个平面，一共有10种取法，误选d.错因都是把题中的条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中的一个，这是不符合题意的题型二：数学语言的转换【例2】 用文字语言和符号语言表示下图反思：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几点且在哪条直线或哪个平面上等，试着用文字语言表示，再用符号语言表示本题易误解：符号语言为mna，a.此时还表示图a，b，c三种情形答案：【例1】 a【例2】 解：文字语言：平面内两直线m和n相交于点a.符号语言：m，n，且mna.1圆上任意三点可确定的平面有()a0个b1个c2个 d1个或无数个2两两相交且共点的三条直线可确定_个平面3用符号语言和文字语言分别表示下面的图形4用文字语言表示下列符号语言，并画图表示：m，a，b，amp，bmp.5用符号语言表示下列语句