2013年辽宁省高考数学试卷（文科）.doc

2013年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=0，1，2，3，4，B=x|x|2，则AB=（）A0B0，1C0，2D0，1，22（5分）复数的模长为（）ABCD23（5分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD4（5分）下列关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p45（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D606（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD7（5分）已知函数f（x）=ln（3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A1B0C1D28（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）ABCD9（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB为直角三角形，则必有（）Ab=a3BCD10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD11（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，则C的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）Aa22a16Ba2+2a16C16D16二、填空题13（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 14（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6= 15（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PQF的周长为 16（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 三、解答题17（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值18（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C是圆O上的点（1）求证：BC平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC19（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率20（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1时，切线MA的斜率为（）求P的值；（）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）21（12分）（1）证明：当x0，1时，；（2）若不等式对x0，1恒成立，求实数a的取值范围请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）（选修41几何证明选讲）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）FEB=CEB；（2）EF2=ADBC23在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值24已知函数f（x）=|xa|，其中a1（1）当a=2时，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值2013年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=0，1，2，3，4，B=x|x|2，则AB=（）A0B0，1C0，2D0，1，2【分析】求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集【解答】解：由B中的不等式|x|2，解得：2x2，即B=（2，2），A=0，1，2，3，4，AB=0，1故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）复数的模长为（）ABCD2【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：复数，所以=故选：B【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力3（5分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD【分析】由条件求得 =（3，4），|=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为 =，故选：A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题4（5分）下列关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论【解答】解：对于公差d0的等差数列an，an+1an=d0，命题p1：数列an是递增数列成立，是真命题对于数列nan，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题对于数列，第n+1项与第n项的差等于 =，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题对于数列an+3nd，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故命题p4：数列an+3nd是递增数列成立，是真命题故选：D【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题5（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D60【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率总体容量，即可得到总体容量【解答】解：成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50故选：B【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键6（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选：A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（5分）已知函数f（x）=ln（3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A1B0C1D2【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f（x）+f（x）=2，即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（，+），f（x）=ln（3x）+1，f（x）+f（x）=ln（+3x）+1+ln（3x）+1=ln（+3x）（3x）+2=ln（1+9x29x2）+2=ln1+2=2，则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（lg2）=2，故选：D【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（x）+f（x）=2是解决本题的关键8（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）ABCD【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：当i=2时，S=0+=，i=4；当i=4时，S=+=，i=6；当i=6时，S=+=，i=8；当i=8时，S=+=，i=10；不满足循环的条件i8，退出循环，输出S=故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理9（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB为直角三角形，则必有（）Ab=a3BCD【分析】利用已知可得=（a，a3b），=（a，a3），且ab0分以下三种情况：，利用垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：=（a，a3b），=（a，a3），且ab0若，则=ba3=0，a=0或b=0，但是ab0，应舍去；若，则=b（a3b）=0，b0，b=a30；若，则=a2+a3（a3b）=0，得1+a4ab=0，即综上可知：OAB为直角三角形，则必有故选：C【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径【解答】解：因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选：C【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力11（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，则C的离心率为（）ABCD【分析】在AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF，即可得到|BF|，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形即可得到a，c，进而取得离心率【解答】解：如图所示，在AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF，化为（|BF|8）2=0，解得|BF|=8设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形|BF|=6，|FF|=102a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5故选：B【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键12（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）Aa22a16Ba2+2a16C16D16【分析】本选择题宜采用特殊值法取a=2，则f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4画出它们的图象，如图所示从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得【解答】解：取a=2，则f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4画出它们的图象，如图所示则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，A=4，B=20，AB=16故选：C【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题二、填空题13（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是1616【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4故其体积为：224224=1616，故答案为：1616【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可14（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6=63【分析】通过解方程求出等比数列an的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和【解答】解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因为数列an是递增数列，且a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4设等比数列an的公比为q，则，所以q=2则故答案为63【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题15（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PQF的周长为44【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决求出周长即可【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|AP|=2a=6 |QF|QA|=2a=6 而|PQ|=16，+得：|PF|+|QF|PQ|=12，周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题16（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）5=7；方差s2=（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）25=4从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）2=20若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则式变为：（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知式均成立，此时样本数据中的最大值为 10故答案为：10【点评】本题考查的是平均数和方差的求法计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数三、解答题17（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x）+结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x0，sinx=，即x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，当2x=，sin（2x）+取得最大值为1+=【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C是圆O上的点（1）求证：BC平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC【分析】（1）由PA圆所在的平面，可得PABC，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点利用三角形的中位线性质，证明OMBC，QMPC，可得平面OQM平面PBC，从而证明QG平面PBC【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA圆所在的平面，可得PABC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC再由ACPA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC平面PAC（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点故OM是ABC的中位线，QM是PAC的中位线，故有OMBC，QMPC而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM平面PBC又QG平面OQM，QG平面PBC【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题19（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率【分析】（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，因此，P（A）=（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，从6件中抽取2道，有C62种情况，而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41C21=8种情况，根据古典概型的计算，有P（B）=【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题20（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1时，切线MA的斜率为（）求P的值；（）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）【分析】（）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值（）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程【解答】解：（）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y=，且切线MA的斜率为，所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=1，y=，点A的坐标为（1，），故切线MA的方程为y=（x+1）+因为点M（1，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=（2）+=y0=解得p=2（）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1x2，由N为线段AB中点知x=，y=切线MA，MB的方程为y=（xx1）+，；y=（xx2）+，由得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=4y0，所以x1x2=由得x2=y，x0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21（12分）（1）证明：当x0，1时，；（2）若不等式对x0，1恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）记F（x）=sinxx，可求得F（x）=cosx，分x（0，）与x（，1）两类讨论，可证得当x0，1时，F（x）0，即sinxx；记H（x）=sinxx，同理可证当x（0，1）时，sinxx，二者结合即可证得结论；（2）利用（1），可求得当x0，1时，ax+x2+2（x+2）cosx4（a+2）x，分a2与a2讨论即可求得实数a的取值范围【解答】（1）证明：记F（x）=sinxx，则F（x）=cosx当x（0，）时，F（x）0，F（x）在0，上是增函数；当x（，1）时，F（x）0，F（x）在，1上是减函数；又F（0）=0，F（1）0，所以当x0，1时，F（x）0，即sinxx，记H（x）=sinxx，则当x（0，1）时，H（x）=cosx10，所以H（x）在0，1上是减函数；则H（x）H（0）=0，即sinxx综上，xsinxx（2）当x0，1时，ax+x2+2（x+2）cosx4=（a+2）x+x2+4（x+2）（a+2）x+x2+4（x+2）=（a+2）x，当a2时，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4对x0，1恒成立，下面证明，当a2时，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4对x0，1不恒成立当x0，1时，ax+x2+2（x+2）cosx4=（a+2）x+x2+4（x+2）（a+2）x+x2+4（x+2）=（a+2）xx2（a+2）xx2=xx（a+2）所以存在x0（0，1）（例如x0取和中的较小值）满足ax0+2（x0+2）cosx040，即当a2时，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4对x0，1不恒成立综上，实数a的取值范围是（，2【点评】本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）（选修41几何证明选讲）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）FEB=CEB；（2）EF2=ADBC【分析】（1）直线CD与O相切于E，利用弦切角定理可得CEB=EAB由AB为O的直径，可得AEB=90又EFAB，利用互余角的关系可得FEB=EAB，从而得证（2）利用（1）的结论及ECB=90=EFB和EB公用可得CEBFEB，于是CB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在RtAEB中，由EFAB，利用射影定理可得EF2=AFFB等量代换即可【解答】证明：（1）直线CD与O相切于E，CEB=EABAB