北师大版选修22 第二章 1.变化的快慢与变化率.pptx

第二章变化率与导数 1变化的快慢与变化率 1 理解平均变化率 会求给定区间上的平均变化率 2 理解瞬时变化率 知道函数在某点处的瞬时变化率的求法 3 认识平均变化率与瞬时变化率的关系 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一函数的平均变化率1 平均变化率的概念设函数y f x x1 x2是其定义域内不同的两个点 那么函数的变化率可用式子表示 我们把这个式子称为函数y f x 从x1到x2的 习惯上用 x表示x2 x1 即 x x2 x1 可把 x看作是相对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2 类似地 y 于是 平均变化率可以表示为 答案 平均 f x2 f x1 变化率 答案 2 求平均变化率求函数y f x 在 x1 x2 上平均变化率的步骤如下 1 求自变量的增量 x 2 求函数值的增量 y x2 x1 f x2 f x1 答案 思考 1 如何正确理解 x y 答案 x是一个整体符号 而不是 与x相乘 其值可取正值 负值 但 x 0 y也是一个整体符号 若 x x1 x2 则 y f x1 f x2 而不是 y f x2 f x1 y可为正数 负数 亦可取零 2 平均变化率的几何意义是什么 答案 答案如图所示 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 答案 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率 若函数y f x 图像上有两点a x1 f x1 b x2 f x2 答案 知识点二瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为 做直线运动的物体 它的运动规律可以用函数s s t 描述 设 t为时间改变量 在t0 t这段时间内 物体的位移 即位置 改变量是 s 那么位移改变量 s与时间改变量 t的比就是这段时间内物体的平均速度 即 瞬时速度 s t0 t s t0 答案 物理学里 我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度 即t0时刻的瞬时速度 用v表示 物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0 t这段时间内的平均变化率在 t 0时的极限 即v v 瞬时速度就是位移函数对时间的 瞬间变化率 思考 1 瞬时变化率的实质是什么 答案其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值 它是刻画函数值在某处变化的快慢 2 平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么 答案 区别 平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 联系 当 x趋于0时 平均变化率趋于一个常数 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率 它是一个固定值 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 反思与感悟 题型一求平均变化率例1求函数y f x 2x2 3在x0到x0 x之间的平均变化率 并求当x0 2 x 时该函数的平均变化率 解当自变量从x0变化到x0 x时 函数的平均变化率为 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 1 已知函数y f x 2x2 1的图像上一点 1 1 及其邻近一点 1 x 1 y 则 解析因为 y f 1 x f 1 2 x 2 4 x 2 x 4 解析答案 2 求函数y f x 在x0到x0 x之间的平均变化率 x0 0 解析答案 题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体 其位移s与时间t的关系是s 3t t2 位移单位 m 时间单位 s 1 求此物体的初速度 当 t 0 3 t 3 即物体的初速度为3m s 解析答案 2 求此物体在t 2s时的瞬时速度 t 1 当 t 1 0时 t 1 1 即此物体在t 2s时的瞬时速度为1m s 方向与初速度方向相反 解析答案 反思与感悟 3 求t 0到t 2s时的平均速度 即t 0到t 2s时的平均速度为1m s 反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的 t趋近于0 指时间间隔 t越来越小 但不能为0 t s在变化中都趋近于0 但它们的比值趋近于一个确定的常数 解析答案 跟踪训练2已知一物体作自由落体运动 下落的高度的表达式为s gt2 其中g为重力加速度 g 9 8米 平方秒 s的单位 米 1 求t从3秒到3 1秒 3 01秒 3 001秒 3 0001秒各段内的平均速度 解析答案 2 求t 3秒时的瞬时速度 所以t 3秒时的瞬时速度约为29 4米 秒 解析答案 反思与感悟 题型三求瞬时变化率例3通过平均变化率估计函数y 3x2 2在下列各点的瞬时变化率 1 x 1 2 x 2 3 x 0 反思与感悟 函数y 3x2 2在x 1处的瞬时变化率为6 函数y 3x2 2在x 2处的瞬时变化率为12 函数y 3x2 2在x 0处的瞬时变化率为0 平均速度与瞬时速度是两个不同的概念 当 t趋于0时 可以用平均速度的值来近似估算瞬时速度的值 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知质点m按规律s 2t2 3 位移单位 cm 时间单位 s 做直线运动 3 求当t 2s时的瞬时速度 4t 2 t 8 02 cm s 8 002 cm s 解题技巧 平均变化率的大小比较 比较函数在几个点附近的平均变化率的大小 要先求出函数在各点附近的平均变化率 再进行比较 例4求函数y f x x2在x 1 2 3附近的平均变化率 取 x的值为 哪一点附近的平均变化率最大 解析答案 返回 点评 点评 解在x 1附近的平均变化率为 在x 2附近的平均变化率为 在x 3附近的平均变化率为 由于k1 k2 k3 在x 3附近的平均变化率最大 若 x的值不是 而是一个任意非零常数 则在比较时需要作差进行 从而确定平均变化率的大小 点评 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 在求解平均变化率时 自变量的变化量 x应满足 a x 0b x 0c x 0d x可为任意实数 c 1 2 3 4 5 解析答案 2 沿直线运动的物体从时间t到t t时 物体的位移为 s 那么当 t 0时 的物理意义为 a 从时间t到t t时物体的平均速度b t时刻物体的瞬时速度c 当时间为 t时物体的速度d 从时间t到t t时位移的平均变化率 则为t时刻物体的瞬时速度 b 1 2 3 4 5 解析答案 3 若已知函数f x 2x2 1 图像上点p 1 3 及邻近一点q 1 x 3 y 则 4 2 x 1 2 3 4 5 解析答案 3 1 2 3 4 5 解析答案 5 以初速度为v0 v0 0 作竖直上抛运动的物体 t秒时的高度为s t v0t gt2 求物体