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文档简介

2.3 平均值不等式(选学) 导学案 1学习目标1. 理解并掌握平均值不等式,会证明平均值不等式。2. 会利用平均值不等式成立的条件(一正,二定,三相等)解决有关最值问题。教学过程温故知新问题1:预习,提问学生定理一以及满足的条件。 + (a,b )。问题2:预习,提问学生平均值定理以及满足的条件。 (a,b )其满足的条件是(一正、二定、三相等)。导学释疑问题1,请同学们讨论、尝试证明不等式:如果a、bR,那么a 2b 2 2ab(当且仅当ab时取“”号)证明:a 2b 22ab(ab)2 当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20所以,(ab)20 即a 2b 2 2ab问题2,请同学们讨论、尝试证明不等式,定理2(平均值不等式):如果a,b是正数,那么 a b2 ab (当且仅当ab时取“”号)证明:(a )2(b )22ab a b2ab ,即 a b2 ab 显然,当且仅当ab时,a b2 ab 说明:1)我们称a b2 为a,b的算术平均数,称ab 为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2)a 2b 22ab和a b2 ab 成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.3)“当且仅当”的含义是充要条件.4)几何意义.巩固提高问题1,例1 已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy是定值P,那么当xy时,和xy有最小值2P ; (2)如果和xy是定值S,那么当xy时,积xy有最大值14 S2证明:因为x,y都是正数,所以 xy2 xy (1)积xy为定值P时,有xy2 P xy2P 上式当xy时,取“”号,因此,当xy时,和xy有最小值2P .(2)和xy为定值S时,有xy S2 xy 14 S 2上式当x=y时取“”号,因此,当x=y时,积xy有最大值14 S 2.说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:)函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;)等号成立条件必须存在。问题2,已知a、b、c、d都是正数,求证:(abcd)(acbd)4abcd分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明:由a、b、c、d都是正数,得abcd2 abcd 0,acbd2 acbd 0,(abcd)(acbd)4 abcd即(abcd)(acbd)4abcd【总结归纳】定理2(平均值不等式):如果a,b是正数,那么 a b2 ab (当且仅当ab时取“”号)可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。其满足的条件是(一正、二定、三相等)。(检测反馈)1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?【拓展延伸】一般地,对n个正数 (n ),我们把数值 , 分别称为这n个正数的算术平均值于几何平均值

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