学沪科版选修33 1.1一种新的研究方法 课件（3）（41张）.ppt

第一节一种新的研究方法 2 引言 人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类 一类是必然的 亦称确定现象 necessity inevitability一类是偶然的 亦称随机现象 casualness chancefortuity random 3 确定现象例子 1 在标准大气压下 纯水在100 时沸腾 2 上抛的物体一定会下落 3 标准大气压下 高于4 的纯水不会结成冰 4 同性电荷互相排斥 以上现象的特点 在一定的条件下 能够事先准确地判断它们的结果 这些现象称为确定现象 4 随机现象例子 1 抛一枚硬币 结果哪一面朝上 2 重复抽取一批产品 是否拿到合格品 3 某城市一天内发生交通事故的次数 4 测量某零件直径的误差 以上现象的特点 在一定条件下 会出现不同的结果 多于一种可能的试验结果 而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果 这些现象称为随机现象 5 偶然性和必然性之间的联系 随机现象表面上看具有偶然性 但偶然性背后隐藏着必然性 例如 在抛硬币试验前 无法知道结果是正面还是方面 但大量试验后 会发现出现正面 反面的次数相当 几乎各占一半 注意 它的前提是什么 概率论的任务就是从偶然性中发现必然性 透过现象抓本质 6 随机现象的统计规律性 随机现象在一次试验下具有偶然性 在大量的试验下 其各种结果会表现出一定的量的规律性 即必然性 称为随机现象的统计规律性 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科 是数学分支 是近代数学的重要组成部分 在许多领域都有广泛的应用 7 本课程主要内容 主要内容分两大部分 第一部分 建立概率论 probability 的各个基本概念和术语 常用的公式和基本的定理 这样 今后就可以继续在各专业领域中使用这些基础知识 第二部分 为数理统计 statistics 即在概率论基础上研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中获得统计结果的技术 8 概率 的词义 概率一词的英文是probabilityprobable意指 可能 ility意指 程度 largeorsmall 因此 probability可认为是 可能性的大小 翻译成中文就是概率 但也有不同时期或者不同的资料翻译成 或然率 或者 几率 的 而在不同的学科中又有不同的称呼 如产品合格率 犯罪率 出生率 离婚率 命中率 成功率 患病率 有效率 痊愈率 及格率等等 概率论几乎在各个学科中都有大量的应用 经济 管理学科更不例外 9 一些数学概念的回顾与介绍 一些在概率论中经常遇到的基础数学概念 在这里简单回顾一下 课后请大家自行复习 集合概念 可列个 的概念函数定积分分段函数与积分 10 集合 现代数学的基础是集合论 概率论中则关心各种集合 不仅仅数集 集合记号通常用大写字母a b c等来表示 表示集合的办法有几种 例如a 1 2 3 4 5 为列举法 b x x r 0 x 1 表示 0 1 区间的所有实数为描述法 11 可列个 的概念 可列 的英文为countable countable的意思是可计数的 因此被翻译成可列个 也有翻译成可数个的 这个词用来表示一个有着无限个元素的集合中的元素的多少的 全体自然数的集合n 1 2 3 是无限集 而自然数n的多少就被定义成可列个 能顺序数下去 此外 与自然数n存在着1 1对应的关系的无限集合也被称为有可列个元素 也就是说 如果集合a是有无限多个元素 而且每个元素可以用自然数作为下标来表示 那么集合a就有可列个元素 即a a1 a2 a3 a4 实数集不可列 12 函数 函数也就是一个实数上的映射关系 对自变量x在定义域内的任意取值 有唯一的函数值y f x 与之对应 对于连续的或者几乎处处连续的函数 通常可以绘出它的图形 如 13 定积分 定积分就是计算一段曲线下包围的面积 如 记作 计算连续函数积分的 牛顿莱布尼兹公式 14 分段函数与积分 概率论中经常使用分段函数 它在定义域内不同子区间上往往需用不同的初等函数来表示对应规则 对分段函数求积分 要用 区间可加性 对积分进行拆分后 再进行积分计算 例如下面就是一分段函数 15 分段函数积分示例 接上例 16 1 1随机事件 一 随机事件的概念二 样本空间与事件三 事件间的关系和运算为了研究随机现象 就要对客观事物进行观察 观察的过程称为随机试验 简称试验 用大写字母e表示 随机试验可以在相同的条件下重复进行 17 随机试验的特点 1 重复性 在相同的条件下 试验可以重复进行 2 随机性 事先不能准确地判断该次试验中会出现哪种结果 3 明确性 每次试验前可以明确一切可能出现的基本结果 尽管随机试验本身具有随机性 18 随机事件的概念 定义 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件 简称为事件 一般用大写的英文字母或希腊字母表示事件 必要时可后跟数字型上 下标 如a b c a1 a2 比如 a 正面向上 b 抽到合格品 c 点数为偶数 样本空间 随机试验e所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为 样本空间的元素 即e的基本结果 称为样本点 or基本事件 常记为 随机事件 的子集 它是满足某些条件的样本点所组成的集合 19 基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机实验的基本结果随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生必然事件 全体样本点组成的事件 记为 每次试验必定发生的事件 不可能事件 不包含任何样本点的事件 记为 每次试验必定不发生的事件 20 随机事件举例 例如 设试验e为掷一颗骰子 观察其出现的结果 1 写出基本事件 2 若记a 出现奇数点 则a是否为事件 是否为基本事件 3 若记b 点数大于0 c 点数大于7 b c分别称为什么事件 解 1 记an 出现n点 n 1 2 3 4 5 6 则a1 a2 a3 a4 a5 a6为基本事件 2 事件a是事件 但不是基本事件 3 b称为必然事件 c称为不可能事件 21 事件的相对性 事件是相对于一定的试验而言 若试验条件发生变化 事件的性质可能发生变化 例如 掷m颗骰子的试验 观察它们出现的点数之和 考虑事件a 点数之和小于15 解答 当m 2时 是必然事件 当m 16时 是不可能事件 当m 3时 是随机事件 条件变化 22 试验与样本空间示例 1 投一枚硬币3次 观察正面出现的次数 0 1 2 3 有限样本空间 2 掷两次硬币作为一次试验 将两次试验结果排序 则共有四种可能 反 反 反 正 正 反 正 正 因此样本空间 反 反 反 正 正 反 正 正 3 在观测某十字路口每小时通过的机动的车辆数试验里 样本空间 0 1 2 3 4 测试某灯泡的寿命试验里 样本空间 t t 0 5 观察某地区每天的最高温度与最低温度 23 事件的图示 为了直观 经常使用图示来表示事件 一般地 用一个平面上某个方 或矩 形区域表示必然事件或者整个样本空间 其中的一个子区域表示一具体的事件a 文氏图 venndiagram 24 事件间的关系和运算 随机事件有简单的 有复杂的 为了从简单的事件推出复杂事件 需要研究同一试验中各种事件之间的关系和运算 25 事件的包含 事件a包含事件b 如果事件b发生必然导致a事件发生 即属于b的每一个样本点都属于a 则称事件a包含事件b或称事件b含于事件a 记作a b或b a a b 26 事件的相等 事件a与b相等 如果事件a包含事件b 事件b也包含事件a 称事件a与b相等 即a与b中的样本点完全相同 记作a b a b 27 事件的并 和 事件a与b的并 和 它是属于a或b的所有样本点构成的集合 记作a b 事件a b发生意味着两个事件a b中至少有一个发生 a b 易知a a a 28 n个事件的和 n个事件a1 a2 an中至少有一个发生 作为一个事件 称为n个事件的和 记作a1 a2 an或a1 a2 an 可列个事件的和 可列个事件中至少有一个事件发生 记作 多个事件的和 29 事件的交 积 事件a与b的交 两个事件a与b同时发生 即 a且b 是一个事件 称为事件a与b的交 它是由既属于a又属于b的所有公共样本点构成的集合 记作ab或a b 30 事件的差 事件a与b的差 事件a发生而事件b不发生 作为一个事件 称为事件a与b的差 它是由属于a但不属于b的那些样本点构成的集合 记作a b 31 互不相容事件 事件a与b互斥 如果事件a与b不能同时发生 即ab 称事件a与b互不相容 或称互斥 互不相容事件a与b没有公共的样本点 显然 基本事件间是互不相容的 特别 n个事件互不相容 是指其中任何两个事件互不相容 32 例 3个事件a b c的积是不可能事件 即abc 问这3个事件是否一定互不相容 画图说明 解 不一定 a b c 33 对立事件 事件a的对立事件 事件a不发生 即事件 非a 称为a的对立事件 或逆事件 它是由样本空间中所有不属于a的样本点组成的集合 记作 显然 a a 34 互斥 与 对立 比较 对立事件只能是两个 而互斥的事件可以有多个 a b c 注意 对立事件一定互不相容 但互不相容事件未必对立 35 完备事件组 若事件a1 a2 an为两两互不相容事件 并且a1 a2 an 必然事件 则称它们构成一个完备事件组或a1 a2 an为 的一个划分 实际意义 每次试验时 必然发生且仅能发生完备事件组a1 a2 an中的一个事件 最常用的完备事件组是 某事件a与它的对立事件 36 练习 设a b c是某个试验中的三个事件 则事件a与b发生 c不发生可以表示为 事件a发生而b与c都不发生可以表示为 这三个事件中至少发生一个可以表示为 所有这三个事件都发生可以表示为 这三个事件中恰好发生一个可以表示为 这三个事件中恰好发生两个可以表示为 37 事件的运算性质 由于用集合来描述事件 故事件的运算性质与集合的运算性质完全相同 现罗列如下 交换律 a b b a ab ba结合律 a b c a b c ab c a bc 分配律 a b c ac bc ab c a c b c a b c ab ac对偶律 demorgan a b c a b c 38 例题与解答 例1 试验e为掷一颗骰子 观察起出现的点数 记a 奇数点 b 点数小于2 c 偶数点 d 点数不超过4 请写出试验e的样本空间及各事件间的关系 解 1 2 3 4 5 6 a 1 3 5 b 1 c 2 4 6 d 1 2 3 4 b a b d a和c互为对立事件 b和c a和c为互不相容事件 39 例题与解答 例2 在产品质量的抽样检验中 每次抽取一个产品 记事件an 第n次取到正品 n 1 2 3 请用事件运算的关系来表示下列事件 1 前两次都取到正品 第三次未取到正品 2 三次都未取到正品 3 三次中只有一次取到正品 4 三次中至少有一次取到正品 5 三次中至多有一次取到正品 解 1 a1a2 3 2 1 2 3 3 a1 2 3 1a2 3 1 2a3 4 a1 a2 a3 5 a1 2 3 1a2 3 1 2a3 1 2 3此小题的题意可理解为三次中至少有两次取到次品因此也可用 1 2 1 3 2 3 40 例题与解答 例3 甲 乙 丙三人各进行一次试验 事件a1 a2 a3分别表示甲 乙 丙试验成功 说明下列事件所表示的试验结果 1 a1 a2 a2a3 的逆 2 3 a1a2a3 a1a2 a1a3 a2a3解 1 甲试验失败 a1 a2 甲 乙二人至少有一人试验成功 a2a3 的逆 2 3 乙 丙二人试验至少有一人失败 a1a2a3 甲 乙 丙三人试验都成功 a1a2 a1a3 a2a3 甲 乙 丙三人中至