人教A版选修22 数学归纳法 教案.doc

课题：选修（2-2）2.3数学归纳法三维目标：1、知识与技能（1）通过实例及合作探究，了解数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原理与实质；（2）掌握数学归纳法证明问题的两个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然数有关的简单命题；（3）通过数学归纳法进一步反思归纳法的思想，并理解数学归纳法的核心递推思想。2、过程与方法（1）通过实例，认识到不完全归纳法的不足，感受到学习数学归纳法的必要；（2）通过合作，经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理及归纳概括的能力，体会数学思想方法的广泛性，感受数学的博大与精深；（3）通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基础。3、情感态度与价值观（1）引导学生通过论证相关问题，总结数学归纳法的思想方法，体会数学推理方法的思想和本质，培养学生求真务实的 学态度和积极进取的创新精神，培养学生辩证唯物主义观点，提高学生的思维推理能力。 (2) 通过学习数学归纳法的证明方法，让学生拥有实事求是的态度和严密的逻辑性。让学生不断认识和体会数学知识的深刻内涵和应用价值，从而激发学生学习数学的兴趣；（3）通过引领学生利用数学归纳法论证各类数学问题。不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的 学意识和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神，并通过学 教学逐步引导学生形成正确的人生观和价值观。 教学重点：数学归纳法的原理及步骤教学难点：数学归纳法中递推思想的理解教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：1、 复习回顾，引入新课： 从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字“万百千”，写名字结果可想而知。” 让学生通过故事分析出合情推理得到的结论是不可靠的。再回顾一下课本上推出等差数列的通项公式的过程： 由此可得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为： 用的也是不完全归纳法，没给出证明。二、 创设情境 合作探究 ： 【创设情景】 同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏，（播放多米诺骨牌录像）大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： (1) 第 块骨牌倒下； (2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一定导致 倒下。只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以 倒下 【合作探究】你认为证明数列的通项公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n= 时， = ，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）论证：若当n=k时猜想成立，即 ，则当n= 时猜想 成立，即 。 根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。 由此，尝试着归纳出这种方法的原理及步骤：【数学归纳法的原理及步骤】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法有了此法，以前的一些猜想就可进行证明了。比如我们前面曾经遇到的一个问题： 已知数列的第1项a1=1，且 ，试归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明。【分析】可先计算，的值，猜测出通项的公式, 然后用数学归纳法证明【证明】 证明：（1）当时，由已知知：猜想成立。 （2）假设当那么， 所以，当n=k+1时，猜想也成立。综合（1）、（2），所以猜想对于成立。 【点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。由此题可看出，若知道了递推关系，用数学归纳法证明是很简洁的三、典例示范 加深理解：例用数学归纳法证明（）【分析】证明与自然数n有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字。【证明】(1）当n=1时,左=12=1，右边=n=1时，等式成立 (2) 假设n=k（kn ） 时，等式成立，即那么，当n=k+1时左边=12+22+k2+(k+1)2=右边n=k+1时，原不等式也成立 由1、2知当nn 时，原不等式都成立【点评】此类问题，有的不用数学归纳法也可证出，但不能只是第一步用数学归纳法，第二步就不用了，也就是说不用假设变式巩固用数学归纳法证明： ，若n = k ( k n0 ，k n* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 验证n= n0 时命题成立。【点评】再看一下证明步骤结构图： 命题对所有从n0开始的正整数n都成立。4、 当堂检测 巩固所学： 用数学归纳法证明1232nn(2n1)时， 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ ） (a) 1 (b) 1+2 (c) 123 (d) 12321 当nk1时，左端应在nk时的左端加上 。五、思悟小结：基本知识：（1）数学归纳法的原理与实质；（2）数学归