人教A版选修22 1.5定积分的概念2 学案.doc

第一章导数及其应用1.5定积分的概念2 - 学 案一、学习目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。二、自主学习阅读教材p38-42,完成下列任务1.用逼近的思想解决过哪些问题?曲边梯形面积的计算是如何通过逼近的思想实现的?2. 求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的曲边梯形面积的“四步曲” (1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n 个小区间: ,第i个区间为 ,长度为dx= . (2)近似代替：用小矩形的面积dsi近似代替dsi，即在局部小范围内“ ”则有dsi . (3)求和：所有小矩形的面积sn= . (4)取极限：当dx趋近于0时，sn趋向于s= . 三、合作探究 题型一 利用定积分定义求值例1利用定积分定义，计算(3x2)dx的值思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决解析：（1）令f(x)3x2，在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分成n个小区间，(i1,2，n)。每个小区间的长度为x。（2），则(3x2)dx =（3）(3x2)dx所求曲边梯形的面积为.归纳总结：利用定义求定积分的步骤是“分割、近似代替，求和、取极限”，整理式子是解决这类问题容易出错的地方，应多加注意变式训练：利用定积分的定义，计算x2dx的值题型二 应用定积分几何意义的求积分值例2用定积分的几何意义求下列各式的值： (1) (2) （3）思路导析：求解本题应先做出被积函数的图象，再找到相应的积分的图形，计算出面积即可。解：（1）由可知，其图像如图。等于圆心角为的弓形cde的面积与矩形abcd的面积之和。s弓形2222sin， s矩形abbc2， =2+=+ .(2)函数y=sinx在x上是奇函数，=0.(3)函数y1sinx的图象如图所示，归纳总结：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，运用数形结合法是关键变式训练： 用定积分的几何意义求下列各式的值：(1) dx (2) （3）题型三 定积分性质的应用例3 计算定积分(x1)(x3)dx.思路导析：将此复杂的积分函数展开，利用积分的性质分解为多个简单的积分函数的问题求解。解析： (x1)(x3)dx(x22x3)dxx2dx2xdx3dx，利用定积分的定义求得x2dx，xdx，3dx3，(x1)(x3)23.归纳总结：利用积分的性质可以将复杂的积分问题转化为简单的积分的加减乘除问题解决。变式训练：已知dxln2，求证：(1)(2x)dxln. 四、自主小测1.设函数f(x)0，则当ab时，定积分f(x)dx的符号()a一定是正的 b一定是负的c当0ab时是正的，当ab0时是负的 d以上结论都不对2定积分(3)dx等于()a6b6 c3 d33.已知f(x)dx56，则()a.f(x)dx28 b.f(x)dx28 c.2f(x)dx56 d.f(x)dxf(x)dx564.(2x4)dx .5.计算x5dx .6已知f(x)g(x)dx12，g(x)dx6，求3f(x)dx.参考答案1解析：由定积分的几何意义可知选a.答案：a2解析：由积分的几何意义可知(3)dx表示由x1，x3，y0及y3所围成的矩形面积的相反数，故(3)dx6. 答案：a3.解析：由yf(x)，x1，x3及y0围成的曲边梯形可分拆成两个：由yf(x)，x1，x2及y0围成的曲边梯形和由yf(x)，x2，x3及y0围成的曲边梯形f(x)dxf(x)dxf(x)dx即f(x)dxf(x)dx56.故应选d. 答案：d4.解析：如图a(0，4)，b(6,8) saom244，smbc4816 。(2x4)dx16412.答案：125.解析：因为y=x5是奇函数，其图像