人教A版选修11 导数应用题 学业分层测评 .doc

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标 一、选择题1.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()a.6 mb.8 mc.4 md.2 m【解析】设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为s m2，则有s4xhx24xx2x2.s2x，令s0得x8，因此h4(m).【答案】c2.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入r与年产量x(0x390)的关系是r(x)400x,0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()a.150b.200c.250d.300【解析】由题意可得总利润p(x)300x20 000，0x390.由p(x)0，得x300.当0x300时，p(x)0；当300x390时，p(x)0，所以当x300时，p(x)最大.故选d.【答案】d3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()a.32,16b.30,15c.40,20d.36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短.设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长l2x(x0)，则l2.令l0，得x16或x16(舍去).此时长为32(米)，可使l最小.【答案】a4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为p元，销售量为q件，且销量q与零售价p有如下关系：q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()a.30元b.60元c.28 000元d.23 000元【解析】毛利润为(p20)q，即f(p)(p20)(8 300170pp2)，f(p)3p2300p11 7003(p130)(p30).令f(p)0，得p30或p130(舍去).又p20，)，故f(p)maxf(p)极大值，故当p30时，毛利润最大，f(p)maxf(30)23 000(元).【答案】d5.三棱锥oabc中，oa，ob，oc两两垂直，oc2x，oax，oby，且xy3，则三棱锥oabc体积的最大值为()a.4b.8c.d.【解析】vy(0x3)，v2xx2x(2x).令v0，得x2或x0(舍去).x2时，v最大为.【答案】c二、填空题6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_. 【导学号：97792113】【解析】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则vr2l27，所以l.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小.s表r22rlr22，令s表2r0，得r3，即当r3时，s表最小.【答案】37.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为_米. 【导学号：97792114】【解析】设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】8008.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处.【解析】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2得k120；由810k2得k2.两项费用之和为y(x0)，y，令y0，得x5或x5(舍去).当0x5时，y0；当x5时，y0.当x5时，y取得极小值，也是最小值.当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.【答案】5三、解答题9.如图343，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).图343(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域.(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.【解】(1)设长为x m，则宽为 m.据题意，解得x16，y40024816 000800x16 000.(2)y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数.又x16，当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元.10.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.【解】设容器底面较短的边长为x m，则容器底面较长的边长为(x0.5)m，高为3.22x(m)，由3.22x0和x0，得0x1.6.设容器容积为y m3，则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)，y6x24.4x1.6.令y0，得x11，x2(舍去)，当0x0；当1x1.6时，y0，所以在x1处y有最大值，此时容器的高为1.2 m，最大容积为1.8 m3.能力提升1.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()a.30千米/时b.25千米/时c.20千米/时d.10千米/时【解析】设航速为v(0v30)，燃料费为m，则mkv3，v10时，m25，代入上式得k，则总费用ym40020v2，y40v.令y0，得v20.经判断知v20时，y最小，故选c.【答案】c2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()a.b.c.d.【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为v，则4r2hl，h，vr2hr22r3.则vlr6r2，令v0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点.当r时，v取得最大值，最大值为.【答案】a3.将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_.【解】如图所示，设adx(0x1)，则deadx，梯形的周长为x2(1x)13x，又sadex2，梯形的面积为x2，s(0x1)，s，令s0得x或x3(舍去)，当x时，s0，s单调递增.故当x时，s的最小值是.【答案】4.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆.本年度为适应