人教A版选修22 1.6微积分基本定理 学案.doc

第一章导数及其应用1.6微积分基本定理 - 学 案一、学习目标1直观了解并掌握微积分基本定理的含义2会利用微积分基本定理求函数的定积分二、自主学习1导数与定积分有怎样的联系？答导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算2在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中sf(x)dx，图(2)中sf(x)dx，图(3)中sf(x)dxf(x)dx.3微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a)4函数f(x)与其一个原函数的关系(1)若f(x)c(c为常数)，则f(x)cx； (2)若f(x)xn(n1)，则f(x)xn1；(3)若f(x)，则f(x)ln x(x0)； (4)若f(x)ex，则f(x)ex；(5)若f(x)ax，则f(x)(a0且a1)； (6)若f(x)sin x，则f(x)cos x；(7)若f(x)cos x，则f(x)sin x.三、合作探究要点一求简单函数的定积分例1计算下列定积分(1)3dx；(2)(2x3)dx； (3)1(4xx2)dx；(4)(x1)5dx.解(1)因为(3x)3，所以3dx(3x)32313.(2)因为(x23x)2x3，所以(2x3)dx(x23x)2232(0230)10.(3)因为4xx2，所以1(4xx2)dx.(4)因为(x1)5，所以1(x1)5dx(x1)6(21)6(11)6.规律方法(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：求f(x)的一个原函数f(x)；计算f(b)f(a)(2)注意事项：有时需先化简，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如f(x)c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.跟踪演练1求下列定积分：(1)0(3xsin x)dx；(2)1dx.解(1)3xsin x，0(3xsin x)dx1；(2)(exln x)ex，1(ex)dx(e2ln 2)(e0)e2eln 2.要点二求较复杂函数的定积分例2求下列定积分：(1)1(1)dx；(2)02cos2dx；(3)1(2x)dx.解(1)(1)x，又x.1(1)dx.(2)2cos21cos x，(xsin x)1cos x，原式0(1cos x)dx(xsin x)1.(3)2x，1(2x)dx2.规律方法求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪演练2计算下列定积分：(1)0(sin xsin 2x)dx； (2)ex(1ex)dx.解(1)sin xsin 2x的一个原函数是cos xcos 2x，所以0(sin xsin 2x)dx.(2)ex(1ex)exe2x，exe2x，ex(1ex)dxdxeln 2e2ln 2e0e0241.要点三定积分的简单应用例3已知f(a)0(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解2ax2a2x，0(2ax2a2x)dxaa2，即f(a)aa22，当a时，f(a)有最大值.规律方法定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用跟踪演练3已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，0f(x)dx2，求a、b、c的值解由f(1)2，得abc2.又f(x)2axb，f(0)b0，而0f(x)dx0(ax2bxc)dxabc，abc2，由式得a6，b0，c4.要点四求分段函数的定积分例4计算下列定积分：(1)若f(x)，求1f(x)dx；(2)0|x24|dx.解(1)1f(x)dx1x2dx0(cos x1)dx，又x2，(sin xx)cos x1原式x3(sin xx)(sin 00).(2)|x24|又x24，4x2，0|x24|dx0(4x2)dx2(x24)dx0(912).规律方法(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论跟踪演练4求3(|2x3|32x|)dx.解|2x3|32x|3(|2x3|32x|)dx3(4x)dx6dx34xdx2x26x2x245. 四、自主小测1已知物体做变速直线运动的位移函数ss(t)，那么下列命题正确的是()它在时间段a，b内的位移是ss(t)；它在某一时刻tt0时，瞬时速度是vs(t0)；它在时间段a，b内的位移是slis(i)；它在时间段a，b内的位移是ss(t)dt.a b c d2若f(x)x2，则f(x)的解析式不正确的是()af(x)x3 bf(x)x3cf(x)x31 df(x)x3c(c为常数)3(ex2x)dx等于()a1 be1 ce de14已知f(x)，则1f(x)dx的值为()a. b c d5设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为 6(2013湖南)若x2dx9，则常数t的值为 7已知1(x3ax3ab)dx2a6且f(t)(x3ax3ab)dx为偶函数，求a，b的值参考答案1答案d2答案b解析若f(x)x3，则f(x)3x2，这与f(x)x2不一致，故选b.3答案c解析(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.4答案b解析1f(x)dx1x2dx1dx11，故选b.5答案解析由已知得acaxc，x，又0x01，x0.6答案3解析x2