§44函数y=Asin(x+)的图象及三角函数（教师）.doc

4.4 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用基础自测1.（2008天津理，3）设函数f（x）=sin，xR，则f（x）是 （填序号）.最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数答案 2.（2008 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x0,2)的图象和直线y=的交点个数是 个.答案 23.为了得到函数y=2sin，xR的图象，只需把函数y=2sinx，xR的图象上所有的点向 平移 单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.答案 左 34.下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是|=,kZ.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3sin2x的图象.函数y=sin(x-)在0,上是减函数，其中，真命题的编号是 .答案 5.已知函数f(x)=2sinx (0)在区间上的最小值是-2，则的最小值等于 .答案 例题精讲例1 已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX，列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2 如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.点N，-2+=0，=，所求解析式为y=-sin。方法二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin例3已知函数f(x)=- cos(2x+2) (A0, 0,0),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求; (2)计算f(1)+f(2)+f(2 008).解（1）y=- cos(2x+2),且y=f(x)的最大值为2，A0,+=2,A=2.又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0,=2, =,f(x)= -cos=1-cos.y=f(x)过(1,2)点，cos=-1, =2k+,kZ.=k+,kZ.又0，= (2)=,f(x)=1-cos=1+sin.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4,又y=f(x)的周期为4，2 008=4502,f（1）+f（2）+f（2 008）=4502=2 008. 巩固练习1.已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：描点、连线,如图所示（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k (kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为(kZ).2.函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图所示，则函数表达 式为 (第2题图).答案 y=-4sin3.已知函数f(x)=Asinx+Bcosx (其中A、B、是实常数，且0)的最小正周期为2,并当x=时,f(x)取得最大值2.（1）函数f(x)的表达式；（2）在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解 （1）f(x)=Asinx+Bcosx=,由T=2知=，又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（x+）.由x=时f（x）max=2，得sin=1，=.f（x）=2sin.（2）令x+=k+（kZ）得对称轴方程为x=k+，由对称轴满足k+（kZ）即k且kZ，k=5.故在上f（x）只有一条对称轴.x=5+=，即对称轴方程为x=.回顾总结知识方法思想一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y=cos2.（2008全国理，8）为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位长度.答案 左 3.（2008湖南理，6）函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是 .答案 4.（2008四川理，10）设f（x）=sin（x+），其中0,则f(x)是偶函数的充要条件是 .答案 f(0)=05.函数y=3sin的周期、振幅依次是 答案 4、36.若函数f(x)=2sin()对任意x都有f=f，则f= .答案 -2或27.（2008辽宁理，16）已知f(x)=sin(0),f=f,且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则= .答案 8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .答案 2-二、解答题9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a-在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由.解 y=1-cos2x+acosx+a-=当0x时，0cosx1，若1,即a2,则当cosx=1时ymax=a+-=1,a=2(舍去).若01，即0a2,则当cosx=时,ymax=1,a=或a=-4(舍去).若0,即a0时,则当cosx=0时,ymax=1,a=0(舍去).综上所述,存在a=符合题设.10.已知函数f(x)=sin（x+）+sin（x-）-2cos2,xR(其中0).(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数y=f(x),x(a,a+的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数y=f(x),xR的单调增区间.解 （1）f(x)= =2-1=2sin -1.由-1sin1,得-32sin-11.可知函数f(x)的值域为-3，1.（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为,又由0,得=,即得=2.于是有f(x)=2sin-1,再由2k-2x-2k+(kZ)，解得k-xk+(kZ).所以y=f(x)的单调增区间为(kZ).11.（2008安徽理，17）已知函数f(x)=cos+2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的值域.解 （1）f（x）=cos+2sinsin=cos2x+sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin.周期T=.由=k+(kZ),得x=(kZ).函数图象的对称轴方程为x=(kZ).(2)x，.f（x）=sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，当x=时，f(x)取得最大值1,又f=-f=,当x=时，f(x)取得最小值-.函数f(x)在上的值域为.12.（2008湖北理，16）已知函数f(t)=，g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),x.（1）将函数g(x)化简成Asin(x+)+B(A0, , 0，2)）的形式；（2