苏教版必修2 第一章 1．2　点、线、面之间的位置关系 教案.doc

第1课时平面的基本性质教室里的课桌面、黑板面、玻璃平面等都给我们平面的形象，几何里的平面与这些平面形象相比，有何特点？问题1：生活中的平面有大小之分吗？其“平”是相对的还是绝对的？提示：有大小之分，相对的问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：抽象出来的，绝对平，无大小、厚薄之分1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面abcd、平面ac或平面bd.位置关系符号表示(1)点a在直线a上aa(2)点a不在直线a上aa(3)点a在平面内a(4)点a不在平面内a(5)直线a在平面内a(6)直线a不在平面内a(7)直线a与直线b相交于点pabp(8)平面与平面相交于直线ll观察下列图片：问题1：把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？提示：两车轮与一只撑脚在同一平面上问题3：两张纸面相交有几条交线？提示：一条1平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内ab续表公理内容图形符号公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线l且pl公理3经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的平面使a，b，c2.公理3的推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面1对几何中平面的理解的几个注意点：(1)平面是平的；(2)平面没有厚度；(3)平面可无限延展且没有边界；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分2从集合的角度理解点、线、面之间的关系的几个注意点：(1)直线可看作无数个点组成的集合，故点与线的关系是元素和集合之间的关系，用“”或“”表示(2)平面也可看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示例1根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系(1)用几何符号表示图(1)(2)用几何符号表示图(2)思路点拨根据点、线、面之间三种语言的转换可表示精解详析(1)ab，a，b，aab，bab.(2)l，ma，mb，al，bl.一点通集合中“”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言1用符号表示“点a在直线l上，l在平面外”为_答案：al，l2根据下列条件画出图形：平面平面mn，abc的三个顶点满足条件amn，b，bmn，c，cmn.解：例2已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面思路点拨证法一：证法二：精解详析如图证法一：ab，a，b确定平面.又laa，lbb，l上有两点a，b在内，即直线l.a，b，l共面同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内故a，b，c，l共面证法二：ab，过a，b确定平面，又aa，bb，ab，即l.又bc，过b，c确定平面，而bb，cc，bc，即l.b，l，b，l，而blb，与重合，故a，b，c，l共面一点通在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有直线和直线外一点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，两条相交直线确定一个平面(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合3下列说法错误的序号是_三点可以确定一个平面；一条直线和一个点可以确定一个平面；四边形是平面图形；两条相交直线可以确定一个平面解析：错误不共线的三点可以确定一个平面；错误一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面错误四边形不一定是平面图形正确两条相交直线可以确定一个平面答案：4过直线l外一点p引三条直线pa，pb，pc和直线l分别相交于a，b，c，试证明这三条直线pa，pb，pc和直线l共面证明：如图，因为pl，所以过p和l确定一个平面.因为pala，所以al.所以a.又因为p，所以pa.同理pb，pc.所以直线pa，pb，pc与直线l共面例3如图，不在同一平面内的两个三角形abc和a1b1c1，ab与a1b1相交于p，bc与b1c1相交于q，ac与a1c1相交于r，求证：p，q，r三点共线思路点拨利用公理2可证，即创设两相交平面，证点在交线上即可精解详析aba1b1p，pab，pa1b1.ab平面abc，p平面abc.又a1b1平面a1b1c1，p平面a1b1c1.p在平面abc与平面a1b1c1的交线上同理可证q，r也都在平面abc与平面a1b1c1的交线上根据公理3知两个平面的交线有且只有一条，故p，q，r三点共线一点通证明点共线的思路是构造相交平面，证明点在相交平面的交线上，即由公理2可得结论5. 如图，已知平面，且l.设梯形abcd中，adbc，且ab，cd，求证：ab，cd，l共点(相交于一点)证明：梯形abcd中，adbc，ab，cd是梯形abcd的两条腰ab，cd必定相交于一点，设abcdm.又ab，cd，m，且m.m.又l，ml，即ab，cd，l共点6 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p，q，r分别在棱ab，bb1，cc1上，且dp，rq相交于点o.求证：o，b，c三点共线 证明：如图，可知平面ac平面bc1bc.又平面ac平面bc1bc，obc，即o，b，c三点共线1三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实虚线2三个公理的作用(1)公理1反映了平面与曲面的区别，它是判断直线在平面内的依据，也是证明点在平面内的依据(2)公理2反映了平面与平面的位置关系，它是判断两个平面相交的依据，是证明点共线的依据，也是证明线共点的依据(3)公理3及其推论，是确定一个平面的依据，是判断两个平面重合的依据，也是证明点、线共面的依据课下能力提升(四)1已知m，a，b，aba，则直线m与a的位置关系用集合符号表示为_解析：aba，aa，又a.a，同理a.am.答案：am2已知点a，直线a，平面.aa，aa；aa，aa；aa，aa；aa，aa.以上命题表达正确的个数为_解析：中若a与相交，且交点为a，则不正确；中“a”符号不正确；中a可在内，也可在外；符号“a”不正确答案：03过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是_解析：设四条直线为a，b，c，d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，因此，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d都分别确定一个平面，共6个平面答案：64平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为_(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析：如图，平行六面体abcda1b1c1d1，与ab，cc1都共面的棱为bc，d1c1，dc，aa1，bb1，共5条答案：55设平面与平面交于直线l，a，b，且直线ablc，则直线ab_解析：l，ablc，c，cab，abc.答案：c6如图所示，在正方体中，请画出过a1，b，d三点的截面解：如图所示，阴影部分即为过三点a1，b，d的截面7已知：如图所示，平面，满足a，b，c，aba.求证：a，b，c三线交于一点证明：aba，aa，ab，又a，b，a，b，a，a.而c，ac.a，b，c相交于点a.8如图，d，e分别是abc的边ac，bc上的点，平面经过d，e两点(1)求作直线ab与平面的交点p；(2)求证：d，e，p三点共线解：(1)延长ab交平面于点p，如图所示(2)证明：平面abc平面de，pab，ab平面abc，p平面abc，又p，p在平面与平面abc的交线de上即pde，d，e，p三点共线第2课时 空间两条直线的位置关系下图为一输电线路，请观察：问题1：电线杆a，b所在的直线有什么样的位置关系？提示：平行问题2：两电线杆之间的保险杠c，d所在的直线有什么样的位置关系？提示：相交问题3：电线e与电线杆a所在的直线共面吗？提示：不共面空间两直线之间的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行问题1：在空间中是否有类似的规律？提示：有问题2：你能否利用教室中的物体举出符合这一规律的实例？提示：可以如教室前后墙与地面和屋顶的交线问题3：观察教室地面和后墙的墙角与前墙和天花板的墙角大小怎样？提示：相等1平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac2等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角相等3异面直线(1)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定 定 理过平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线l，a/_，b，b/_l，则l与ab异面(2)异面直线所成的角定义：a，b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线aa，bb.我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角异面直线所成的角的取值范围：当时，a与b互相垂直，记作ab1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线例如，如图所示的长方体中，棱ab和b1c1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故ab与b1c1是异面直线2对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补例1如图在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，e1，f1分别为棱ad，ab，b1c1，c1d1的中点求证：ea1fe1cf1.思路点拨解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即a1ece1，a1fcf1，然后根据等角定理，得出结论精解详析如图所示，在正方体ac1中，取a1b1的中点m，连结bm，mf1，则bfa1mab.又bfa1m，四边形a1fbm为平行四边形a1fbm.而f1，m分别为c1d1，a1b1的中点，则f1mc1b1.而c1b1bc，f1mbc，且f1mbc.四边形f1mbc为平行四边形，bmf1c.又bma1f，a1fcf1.同理取a1d1的中点n，连结dn，e1n，则a1nde，四边形a1nde为平行四边形a1edn.又e1ncd，且e1ncd，四边形e1ndc为平行四边形，dnce1.a1ece1.ea1f与e1cf1的两边分别对应平行且方向相反即a1ece1，a1fcf1，ea1fe1cf1.一点通运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现1空间两个角、且与的两边对应平行，若60，则的大小为_解析：由等角定理可知，或180，60或120.答案：60或1202已知正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是aa1，cc1的中点求证：bfed1.证明：如图所示，取bb1的中点g，连结gc1，ge.f为cc1中点，bgc1f.四边形bgc1f为平行四边形bfgc1.又eg綊a1b1，a1b1c1d1，egd1c1，四边形egc1d1为平行四边形，ed1gc1，bfed1.例2已知平面平面a，b，baa，c且ca.求证：b，c是异面直线思路点拨可利用定理或反证法解题精解详析法一：a，b，baa，b，a.ca，ac，b，c是异面直线法二：(反证法)若b与c不是异面直线，则bc或b与c相交(1)若bc，ac，ab，这与aba矛盾(2)若b，c相交于b，则b，又aba，a.ab，即b，这与ba矛盾，b，c是异面直线一点通应用定理证明异面直线时要注意定理中条件的确定应用反证法时要注意矛盾的推导3. 如图，平面，相交于ef，aef，bef，分别在平面，内作eacfbd，则ac和bd的关系是_解析：由于ac，d，b，bac，所以ac与bd异面答案：异面4如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于o点，m，p是直线a上的两点，n，q分别是b，c上的一点求证：mn和pq是异面直线证明：假设mn和pq不是异面直线，则mn与pq在同一平面内，设为.m，p，m，pa，a.o，n且ob，nb，b.同理c，a，b，c共面于，与a，b，c不共面矛盾mn，pq是异面直线例3如图，正方体ac1中，e，f分别是a1b1，b1c1的中点，求异面直线db1与ef所成角的大小思路点拨先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解精解详析法一：如图(1)，连结a1c1，b1d1，并设它们相交于点o，取dd1的中点g，连结og，a1g，c1g，则ogb1d，efa1c1， (1)goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角ga1gc1，o为a1c1的中点goa1c1.异面直线db1与ef所成的角为90.法二：(2)如图(2)，连结a1d，取a1d的中点h，连结he，hf，则hedb1，且hedb1.于是hef为异面直线db1与ef所成的角或补角设aa11，则ef，he，取a1d1的中点i，连结if，ih，则hiif，hf2hi2if2.hf2ef2he2.hef90，异面直线db1与ef所成的角为90.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结dq，b1q，则b1qef. (3)于是db1q为异面直线db1与ef所成的角或其补角设aa11，则dq，b1d，b1q，所以b1d2b1q2dq2，从而异面直线db1与ef所成的角为90.一点通异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了把空间角转化为平面角来求的基本思想5在正方体abcda1b1c1d1中，已知棱长为a，则异面直线a1b与b1c所成角的大小为_解析：如图，连结a1d，bd，a1db1c，ba1d为所求，在a1db中，a1dbda1b，da1b60.答案：606已知空间四边形abcd中，abcd，ab4，cd4，m，n分别为对角线ac，bd的中点求mn与ab，cd所成的角解：如图，取bc的中点p，连结pm，pn.pm，pn分别是abc，bcd的中位线pncd且pncd2，pmab且pmab2.pmn，pnm分别是mn与ab，cd所成的角(或其补角)mpn是异面直线ab，cd所成的角abcd，mpn90.在rtpmn中，tanpmn.pmn60，pnm30.mn和ab所成的角为60，mn和cd所成的角为30.1证明两直线平行的方法：(1)定义法(多用反证法)；(2)利用公理4即平行传递性2等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性3求两条异面直线所成角的方法步骤课下能力提升(五)1空间中有一个a的两边和另一个b的两边分别平行，a70，则b_解析：a的两边和b的两边分别平行，ab或ab180，又a70，b70或110.答案：70或1102如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c的中点，有以下四个结论：直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线am与dd1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确结论的序号都填上)解析：由异面直线的定义知正确答案：3已知正方体abcda1b1c1d1中，e为c1d1的中点，则异面直线ae与a1b1所成的角的余弦值为_解析：设棱长为1，因为a1b1c1d1，所以aed1(或其补角)就是异面直线ae与a1b1所成的角在aed1中，cosaed1.答案：4关于空间中点，线，面之间的关系描述正确的序号是_若直线a在平面外，则a；若且，则；若直线a与b不相交，则ab；若ab，则a与b必相交解析：直线a在平面外，则a或a与相交，所以错误；若直线a与b不相交，则ab或a与b异面，所以错误；若ab，则a与b相交或异面，所以错误答案：5如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab的中点为m，dd1的中点为n，则异面直线b1m与cn所成的角是_解析：取cd的中点m1，连结c1m1，则cnc1m1，故b1m与cn所成的角为90.答案：906如图所示，已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点(1)求证：e，f，g，h四点共面；(2)若四边形efgh是矩形，求证：acbd.证明：(1)如图所示，连结ef，fg，gh，he，在abd中，e，h分别是ab，ad的中点，ehbd，同理fgbd，ehfg，e，f，g，h四点共面(2)由(1)知ehbd，同理ghac.又四边形efgh是矩形，ehgh，acbd.7如图在正方体abcda1b1c1d1中，求：(1)异面直线ad1与dc1所成的角；(2)若e，f分别是ab，bc的中点，求异面直线ef与ad1所成的角解：(1)连结ab1，b1d1，在正方体abcda1b1c1d1中，adb1c1.四边形adc1b1是平行四边形dc1ab1，d1ab1(或其补角)就是异面直线ad1与dc1所成的角，又ad1ab1b1d1，ab1d1为正三角形，d1ab160.即异面直线ad1与dc1所成的角是60.(2)连结ac，cd1，则efac.d1ac即为异面直线ef与ad1所成的角(或其补角)又acad1cd1，acd1为等边三角形d1ac60，即异面直线ef与ad1所成的角为60.8.如图所示，在三棱锥abcd中，abacada，bccda，bda，点f是bd的中点，求证：afcd.证明：取bc的中点e，连结ef，ae，f为bd的中点，efcd.afe为异面直线af，cd所成的角或其补角，且efa.在abc中，abaca，bca，ae2ab2(bc)2a2a2a2.在abd中，abada，bda，af2ab2(bd)2a2a2a2.在afe中，af2ef2ae2，afe90.afcd.第3课时直线与平面平行观察我们的教室，可以把墙面、地面、天花板均可抽象为平面，把日光灯所在的线段抽象成一条直线问题1：日光灯所在的直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？提示：平行或相交问题2：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在直线与地面有何位置关系？提示：直线在平面内直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点符号表示aaaa图形表示门扇的左右两边是平行的，当门绕着一边转动时，只要门扇不被关闭，不论转到什么位置，它的另一边与门框所在的平面具有不变的位置关系问题1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？提示：平行问题2：你能从上述问题中得出判断直线与平面平行的一种方法吗？提示：可以只需要在面内找一条与平面外直线平行的直线即可问题3：若一条直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？提示：不一定，要强调直线在平面外直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a，b且aba.如图所示，将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置关系问题1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？提示：平行问题2：书脊所在直线与桌面内的所有直线都平行吗？提示：不一定问题3：书脊所在的直线与每页纸与桌面的交线之间有何关系？提示：平行直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：l，l，mlm1利用公共点的个数可以判断直线与平面的位置关系2对于直线与平面平行的判定定理的理解(1)定理可简记为“线线平行，则线面平行”(2)用该定理证明直线a与平面平行时，三个条件：a，b，ab缺一不可3对于直线与平面平行的性质定理的理解(1)定理可简记为“线面平行，则线线平行”(2)定理中有三个条件：直线a平面，直线a平面，b，这三个条件缺一不可4利用线面平行的判定定理和性质定理，可实现平面问题与空间问题的转化本节常用的转化为 例1下列关于直线a与平面平行的条件中，不正确的是_b，abb，c，ab，acb，a、ba，c、db，且acbda，b，ab思路点拨依据定理，找条件，逐一验证条件正误精解详析若b，ab，则a或a，故错误若b，c，ab，ac，则a或a，故错误若b，a、ba，c、db，且acbd，则a或a，或a与相交，故错误对是线面平行判定定理不可缺少的条件，故正确答案一点通证明直线与平面平行的方法(1)定义：证明直线与平面无公共点(2)排除法：说明直线与平面不相交，直线也不在平面内(3)判定定理：三个条件缺一不可1直线b是平面外的一条直线，若b与内的所有直线都不相交，则b_.答案：2若l，m，则直线l与m的位置关系是_解析：l，l与无公共点，又m，l与m平行或异面答案：平行或异面3已知下列说法，正确的个数是_若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a平行于平面内的无数条直线解析：错因为l可能在平面内错因为直线a在平面外有两种情形：a和a与相交错因为a可能在平面内正确无论a在平面内或a，在内都有无数条直线与a平行答案：1例2如图，m，n分别是底面为矩形的四棱锥pabcd的棱ab，pc的中点，求证：mn平面pad.思路点拨取pd中点e，证明enam.精解详析如图所示，取pd的中点e，连结ae，ne，n是pc的中点，endc.又amcd，neam.四边形amne是平行四边形mnae.又ae平面pad，mn平面pad，mn平面pad.一点通利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线4p是abc所在平面外一点，e，f，g分别是ab，bc，pc的中点，则图中与过e，f，g的截面平行的线段有_条解析：由题意知efac，fgpb，ac平面efg，pb平面efg，即有2条与平面efg平行的线段答案：25如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，h分别是棱a1b1，d1c1上的点(点e与b1不重合)，且eha1d1.过eh的平面与棱bb1，cc1相交，交点分别为f，g.证明：ad平面efgh.证明：在长方体abcda1b1c1d1中，ada1d1.又eha1d1，adeh.ad平面efgh，eh平面efgh.ad平面efgh.例3如图所示，四边形abcd是平行四边形，点p是平面abcd外一点，m是pc的中点，在dm上取一点g，过g和ap作平面交平面bdm于gh，求证：apgh.思路点拨欲证apgh，可转化为证明ap平面bmd，为此需连结ac交bd于点o，连结om，即可证明ap平面bmd.精解详析如图所示，连结ac交bd于点o，连结mo.四边形abcd是平行四边形，o是ac的中点又m是pc的中点，apom.又ap平面bmd，om平面bmd，ap平面bmd.又ap平面pahg，平面pahg平面bmdgh.apgh.一点通运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系6 如图所示，四边形abcd是矩形，p平面abcd，过bc作平面bcfe交ap于e，交dp于f.求证四边形bcfe是梯形证明：四边形abcd是矩形，bcad，而ad平面pad，bc平面pad，bc平面pad.又过bc的平面febc与平面pad的交线为ef，bcef.在pad中，易知efad，efbc，四边形bcfe是梯形7如图，三棱锥abcd被一平面所截，截面为平行四边形efgh.求证：cd平面efgh.证明：四边形efgh为平行四边形，efgh.又gh平面bcd，ef平面bcd，ef平面bcd，而平面acd平面bcdcd，ef平面acd，efcd.而ef平面efgh，cd平面efgh，cd平面efgh.1利用直线与平面平行判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等2对较复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，可有如下示意图课下能力提升(六)1直线a平面，直线b平面，则a，b的位置关系是_解析：借助长方体模型，易知a，b的位置关系是平行或相交或异面答案：平行或相交或异面2长方体abcda1b1c1d1中，e为aa1中点，f为bb1中点，与ef平行的长方体的面有_个解析：上、下底面和面cc1d1d与ef平行，故有3个答案：33对于以下说法：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行；经过两条异面直线外一点，必有一个平面与这两条异面直线都平行；经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线；若直线与平面不平行，则该直线与平面内任一直线都不平行其中正确的是_解析：对于，这两条直线也可能相交，也可能异面；对于，过两条异面直线外一点分别作这两条直线的平行线，确定的平面与这两条异面直线都平行或一条平行，另一条在平面内；对于，过两条异面直线中的一条上的某一点，作另一条直线的平行线，确定的平面平行于另一条直线；对于，易忽略直线在平面内时的情况答案：4梯形abcd中，abcd，ab，cd，则cd与平面内的直线的位置关系只能是_解析：由条件知cd，故cd与内的直线平行或异面答案：平行或异面5下列四个正方体中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_解析：对于图，构造ab所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面mnp平行，由面面平行的性质可得ab平面mnp；对于图，通过证明abpn可得ab平面mnp；对于图，无论是用定义还是用判定定理都无法证明线面平行答案： 6如图，在长方体abcda1b1c1d1中，点o是ac与bd的交点，求证：b1o平面a1c1d.证明：如图，连结b1d1，交a1c1于点o1，连结do1，o1b1do，四边形o1b1od为平行四边形b1oo1d.b1o平面a1c1d，o1d平面a1c1d，b1o平面a1c1d.7已知直线l是过正方体abcda1b1c1d1的顶点的平面ab1d1与平面abcd所在平面的交线求证：d1b1l.证明：bb1dd1，四边形bdd1b1是平行四边形，b1d1bd.b1d1平面abcd，bd平面abcd，b1d1平面abcd，平面ab1d1平面abcdl，b1d1平面ab1d1，b1d1l.8如图，p为abcd所在平面外一点，在pc上求一点e，使pa平面bed，并给出证明解：如图，在pc上取一点e，连结ed，eb，bd，ac，设acbdo，连结oe，若pa平面bde，pa平面pac，且平面pac平面bdeeo，paeo.又o为ac的中点，e为pc的中点反之，若e为pc的中点，o为ac的中点，必有eopa.eo平面ebd，pa平面ebd，pa平面ebd.第4课时直线与平面垂直请你做一做：将书打开直立在桌面上，观察书脊和各页与桌面的交线的位置关系问题1：书脊和各页与桌面的交线是什么位置关系？提示：垂直问题2：若一直线垂直于某一平面内的无数条直线，此直线和平面垂直吗？提示：不一定直线和平面垂直的概念1线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点叫做垂足2结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.要测量某墙角直与不直，只需将弯尺一边与墙角对齐，将另一边旋转，看是否与地面平齐，若平齐，说明墙角直，否则墙角不直问题1：用弯尺测量墙角直不直的原理是什么？提示：直线与平面垂直的定义问题2：直线垂直于平面的条件是什么？提示：必须垂直于平面内的所有直线直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言：l.当你在马路上散步时，会惊奇地发觉身旁的树木、电线杆等物体，它们之间的空间位置关系是相互平行的问题1：若将树木电线杆抽象成直线，它们与地面所在平面有何位置关系？提示：垂直问题2：你能由上述问题得出垂直于同一平面的直线平行吗？提示：可以直线与平面垂直的性质定理文字表述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号表示：若a，b，则ab.1点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离2直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.1相关概念平面的斜线：指与一平面相交，但不垂直的直线斜足：斜线与平面的交点斜线段：斜线上一点与斜足间的线段正投影：过平面外一点p向平面引斜线和垂线，过斜足和垂足的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)2直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角(2)范围：090(3)画法：如图所示，斜线pq与平面所成的角是pqp11判定定理的理解(1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面(2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要2对性质定理的理解(1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据例1在三棱锥abcd中，bcac，bdad，becd于e.求证：cd平面abe.思路点拨欲证线面垂直，可考虑利用线面垂直的判定定理，将问题转化为证明cd与平面abe内两相交直线都垂直，由条件知abc与abd是等腰三角形，于是由等腰三角形“三线合一”，启发我们取ab中点m，然后进行求解精解详析取ab中点m，连结md，mc.bcac，bdad，cmab，dmab.又cmdmm，ab平面cdm.cd平面cdm，cdab.又cdbe，abbeb，cd平面abe.一点通线面垂直的证明常见方法：(1)线面垂直的判定定理，在论证中要根据题设条件，来寻找判定定理的条件(2)利用平行转化：ab，a，则b.1共点的三条直线oa，ob，oc两两互相垂直，则oa与bc的关系是_解析：oaob，oaoc，oboco，oa平面boc，又bc平面boc，oabc.答案：oabc2 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m为棱cc1的中点，ac交bd于点o.求证：a1o平面mbd.证明：连结a1m，mo，a1c1，在正方体中，bdac，bdaa1，acaa1a，bd平面aa1c1c，又a1o平面aa1c1c，bda1o.在矩形aa1c1c中，a1oom，a1m.令正方体的棱长为1，则有a1m2a1o2om2，a1om90，即a1oom.又bdomo，bd，om平面mbd，a1o平面mbd.3如图在abc中，abc90，d是ac的中点，s是abc所在平面外一点，且sasbsc.(1)求证：sd平面abc；(2)若abbc，求证：bd平面sac.证明：(1)因为sasc，d是ac的中点，所以sdac.在rtabc中，adbd，又sasb，所以adsbds，所以sdbd.又acbdd，所以sd平面abc.(2)abbc，d为ac的中点，所以bdac.由(1)知sdbd，因为sdacd，所以bd平面sac.例2如图在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别在a1d，ac上，且efa1d，efac.求证：efbd1.思路点拨利用线面垂直的性质定理证明ef，bd1垂直于面ab1c可得结论精解详析如图所示，连结ab1，b1c，bd，b1d1，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，bddd1d，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可证bd1b1c，bd1平面ab1c.efac，efa1d，又a1db1c，efb1c.ef平面ab1c，efbd1.一点通空间中证明两条直线平行的方法：(1)利用线线平行定义：证两线无公共点；(2)若ab，bc，则ac(公理4)；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a，b，则ab(线面垂直的性质定理)4abc所在的平面为，直线lab，lac，直线mbc，mac，则直线l，m的位置关系是_解析：l，m.由线面垂直的性质定理得ml.答案：平行5如图，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分别是ab，pc的中点(1)求证：mncd；(2)若pda45，求证：mn平面pcd.证明：(1)取pd中点e，又n为pc中点，连结ne，ae