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第三章 3 1数系的扩充和复数的概念 3 1 1数系的扩充和复数的概念 1 了解引进虚数单位i的必要性 了解数集的扩充过程 2 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 3 掌握复数代数形式的表示方法 理解复数相等的充要条件 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一复数的概念及代数表示 问题导学新知探究点点落实 答案 思考为解决方程x2 2 数系从有理数扩充到实数 那么怎样解决方程x2 1 0在实数系中无根的问题呢 答设想引入新数i 使i是方程x2 1 0的根 即i i 1 方程x2 1 0有解 同时得到一些新数 答案 1 复数 定义 形如a bi的数叫做复数 其中a b i叫做 a叫做复数的 b叫做复数的 表示方法 复数通常用字母表示 即 2 复数集 定义 所成的集合叫做复数集 表示 通常用大写字母表示 虚数单位 实部 虚部 z z a bi 全体复数 c r 答案 思考由4 2能否推出4 i 2 i 知识点二两个复数相等的充要条件 答不能 当两个复数都是实数时 可以比较大小 当两个复数不全是实数时 不能比较大小 设a b c d都是实数 那么a bi c di a c且b d 返回 1 复数 a bi a b r 知识点三复数的分类 2 集合表示 题型探究重点难点个个击破 类型一复数的概念 例1 1 下列命题是假命题的为 若a b r且a b 则a i b i 若x2 y2 0 则x y 0 若a r 则 a 1 i为纯虚数 2i 1的虚部是2i 解析答案 解析虚数不能比较大小 错 中当x i y 1时 x2 y2 0 而x 0 y 0 错 当a 1时 a 1 i 0 不正确 2i 1的虚部为2 也不对 故答案是 答案 反思与感悟 解析答案 2 已知复数z a2 2 b i的实部和虚部分别是2和3 则实数a b的值分别是 1 复数的代数形式 若z a bi 只有当a b r时 a才是z的实部 b才是z的虚部 且注意虚部不是bi 而是b 2 不要将复数与虚数的概念混淆 实数也是复数 实数和虚数是复数的两大构成部分 3 举反例 判断一个命题为假命题 只要举一个反例即可 所以解答这类题时 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法进行解答 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗 若存在 请举出例子 若不存在 请说明理由 4 不存在 因为纯虚数的实部为0 类型二复数的分类 解析答案 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 反思与感悟 解析答案 1 复数z是实数的充要条件是 当m 2时 复数z是实数 反思与感悟 2 复数z是虚数的充要条件是 当m 3且m 2时复数z是虚数 反思与感悟 3 复数z是纯虚数的充要条件是 当m 3时 复数z是纯虚数 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时 主要依据实部 虚部满足的条件 可列方程或不等式求参数 解析答案 2 虚数 3 纯虚数 且m2 2m 3 0 解得m 0或m 2 解析答案 类型三复数相等 解析答案 例3已知x y均是实数 且满足 2x 1 i y 3 y i 求x与y 反思与感悟 反思与感悟 两个复数相等 首先要分清两复数的实部与虚部 然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程 从而可以确定两个独立参数 跟踪训练3已知m 1 m2 2m m2 m 2 i p 1 1 4i 若m p p 求实数m的值 解析答案 返回 解 m p p m p m2 2m m2 m 2 i 1或 m2 2m m2 m 2 i 4i 解得m 1 解得m 2 综上可知m 1或m 2 返回 达标检测 1 2 3 4 1 下列复数中 满足方程x2 2 0的是 a 1b ic id 2i c 答案 1 2 3 4 2 如果z m m 1 m2 1 i为纯虚数 则实数m的值为 a 1b 0c 1d 1或1 b 解析答案 1 2 3 4 3 下列几个命题 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 1 ai a r 是一个复数 虚数的平方不小于0 1的平方根只有一个 即为 i i是方程x4 1 0的一个根 i是一个无理数 其中正确命题的个数为 a 3b 4c 5d 6 解析答案 解析命题 正确 错误 b 1 2 3 4 4 若log2 x2 3x 2 ilog2 x2 2x 1 1 则实数x的值是 解析答案 2 1 对于复数z

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