人教B版 2.3.1　 等比数列 课件（36张）.ppt

2 3等比数列2 3 1等比数列 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 知识探究 1 等比数列一般地 如果一个数列从起 每一项与它的的比都等于 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 用字母q q 0 表示 通项公式为 其中a1与q均不为0 第2项 前一项 同一个常数 公比 an a1qn 1 2 等比中项如果三个数x g y组成等比数列 则g叫做x和y的 且满足关系 等比中项 g2 xy 点击进入 情境导学 拓展延伸 1 等比数列的定义等比数列的定义可以用数学符号表述为 在数列 an 中如果 q q 0 对任意n n 都成立 则称数列 an 为等比数列 q为公比 对定义的理解 要注意以下几点 1 由于等比数列每一项都可能作分母 故每一项均不为0 且q也不能为0 2 从第2项起 是因为首项没有 前一项 如果一个数列不是从第2项起 而是从第3项或第4项起符合定义 此数列不是等比数列 但可以说从第2项或第3项起是一个等比数列 3 定义中的 比 应是每一项与其前一项之比 注意次序 而且比值应为同一个常数 若虽都是常数 却是不同的常数 也不是等比数列 4 常数列都是等差数列 但不一定是等比数列 只有当各项均不为0时 才是等比数列 2 等比数列的通项 1 通项公式的推导 迭代法 根据等比数列的定义有 an an 1q an 2 q2 a2qn 2 a1qn 1 2 对通项公式应从以下几个方面理解 在公式an a1qn 1 n n 中有四个基本量an a1 q n 若知道其中任意的三个量 就可以求出另一个量 n n q 0 a1 0 且对n取1 2 3 的一切正整数 此公式都成立 等比数列 an 中的任意两项可以表示为an amqn m 这也是通项公式的另一种形式 3 等比数列的性质公比为q的等比数列 an 具有如下性质 1 当q 1 a1 0或01 a10时 an 是递减数列 当q 1时 an 是常数列 2 当m n p q m n p q n 时 有am an ap aq 特别地 当m n p成等差数列时 am an ap成等比数列 即若m p 2n 则am ap 3 在 an 中 每隔k k n 项取出一项 将取出的项按原来的顺序排列 所得新数列仍成等比数列 且公比为qk 1 4 等比数列的判定方法等比数列的判定方法有 定义法 等比中项法 通项公式法 即 3 an c qn c q均为不等于0的常数 an 是等比数列 自我检测 c a b c d 解析 当a 0时 不能构成等比数列 2 已知数列a a 1 a a 1 a 2 是等比数列 则实数a的取值范围是 a a 1 b a 0或a 1 c a 0 d a 0且a 1 d 解析 由等比数列的定义知a 0且1 a 0 故选d c 3 若 an 为等比数列 且2a4 a6 a5 则公比是 a 0 b 1或 2 c 1或2 d 1或 2 解析 由2a1q3 a1q5 a1q4 得q2 q 2 0 所以q 2或 1 4 两数 1与 1的等比中项是 答案 2 类型一 等比数列的判断与证明 例1 如果数列 an 的前n项和sn满足对任意n n 都有sn an 3 求证 an 是等比数列 思路点拨 已知条件中给出了sn与an的关系 应考虑用an sn sn 1 n 2 将an与an 1的关系表示出来 再进行判断 课堂探究 素养提升 方法技巧解此题的关键是利用an sn sn 1 n 2 找出an与an 1的关系 利用等比数列的定义 等比中项的定义以及等比数列的通项公式均可判断或证明一个数列是等比数列 变式训练1 1 已知数列 an 满足lgan 2n 1 求证 数列 an 是等比数列 类型二 求数列的通项公式 思路点拨 由等比数列通项公式 只要求出a1和q即可 例2 已知等比数列 an 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求an 方法技巧等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量 只要求出这两个基本量 则通项公式可求 关于a1和q的求法通常有以下两种方法 1 根据已知条件 建立关于a1 q的方程组 求出a1 q后再求an 这是常规方法 2 充分利用各项之间的关系 直接求出q后 再求a1 最后求an 这种方法带有一定的技巧性 能简化运算 类型三 等比数列的性质 例3 在等比数列 an 中a3a4a5 8 求a2a3a4a5a6的值 思路点拨 利用等比中项的性质可求出a4 再结合等比数列的性质即可找出条件与所求式的关系 解 在等比数列中由a3a4a5 8 得a4 2又因为a2a6 a3a5 所以a2a3a4a5a6 25 32 方法技巧在等比数列中 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 其中等比中项可看作该性质的特例 灵活应用性质 可以简化运算 变式训练3 1 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 答案 50 类型四 等差 等比数列的综合问题 例4 有四个数 前三个数成等比数列 后三个数成等差数列 首末两项的和为21 中间两项的和为18 求这四个数 思路点拨 根据等差或等比的关系设元列式求解 方法技巧解决已知三个或四个数成等差 等比数列这类问题时 要善于巧妙设元 来减少运算量 当已知三数成等比数列且积一定时 常设这三数为 a aq 若四数成等比数列 公比为正且积一定 可设为 aq aq3 变式训练4 1 三个数成等比数列 其积为512 若第一个数与第三个数各减去2 则这三个数成等