苏教版必修一 2.2.2指数函数 教案.doc

2.2.2 指数函数整体设计教材分析 本节主要学习指数函数的概念、图象、性质及性质的简单应用.学习过程中，可以让学生通过画出具体的指数函数的图象，观察其特征，将表达图象特征的通俗语言，归纳、转化为数学符号语言，从而得出指数函数的性质.在这一过程中，体现数形结合的数学思想，用到了分类讨论的数学方法及从特殊到一般的类比研究的方法.所以本节的教学重点是指数函数的图象与性质. 根据前面的分析，对本节的学习提出如下的建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过画指数函数的图象，来归纳指数函数的性质.可以根据学生探索新知的情况，在适当时机，利用现代化的教学设备演示，帮助学生理解指数函数的性质.让学生在自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学的美，同时激发学生对数学学习的兴趣.在应用性质的过程中，对学习有困难的学生，时时提醒他们注意底数a对指数函数的性质的影响.三维目标 1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性的特殊点. 2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 3.利用计算工具，比较指数函数增长差异；体会指数等不同函数的类型增长的含义. 4.通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想方法. 5.利用计算机技术及相关的教学软件探讨指数函数的图象和性质，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识，培养学生良好的心理素质，优化学生个性品质，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.重点难点 教学重点： 1.指数函数的图象和性质. 2.通过数形结合，利用图象来认识、掌握函数的性质，增强学生分析问题、解决问题的能力. 教学难点： 指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质.课时安排 3课时教学过程第一课时 指数函数(一)导入新课 设计思路一(实际问题导入) 从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14c.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14c不再产生，且原有的14c会自动衰变.经过5 730年(14c的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过 学测定，若14c的原始量为1，则经过x年后的残留量为y=ax 这里a为常数，0a1. 设计思路二(情境导入) 相传达依尔是国际象棋的发明人，同时也是古印度的宰相，达依尔聪明能干，国王要奖赏他，问他需要什么，达依尔就对国王说：“国王，你只需在象棋的第一格放1粒麦子，在第二格放2粒麦子，在第三格放4粒麦子，以后按比例每一格是前一格的两倍，一直放到第64格，这就是我的要求，如能满足我的这个要求，我就感激不尽了，其他的我就什么都不要了.”国王心想，这有什么难的，不就是一点麦子吗，满足他就是了，于是下令，按照宰相的要求去做，谁知道，全国的粮食用完了还不够.国王很是奇怪，他怎么也想不明白，那么你能用数学知识帮助国王解决这个问题吗？另外按宰相达依尔的要求共需多少粒小麦？再看下面的一个例子： 背景(实际问题)：某细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，第三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系式是什么？(答案：y=2x)推进新课 新知探究 指数函数的概念 根据上述例子，我们得到了形如y=ax的函数，这些函数的自变量是指数，因此我们把这种函数称为指数函数. 一般地，函数y=ax(a0,a1) 叫做指数函数，其中x是自变量，x的取值范围是r. 为了对指数函数的形式有较为深刻的印象，不妨请同学思考下面的问题： 函数y=x2与函数y=2x有什么区别？ (答：函数y=x2与函数y=2x的区别是：函数y=2x的指数为自变量，底数为常数，而函数y=x2的底数为自变量，指数为常数) 为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？ (答：如果a=0, 如果a0，例如y=(-2)x，这时对于x=,y=(-2)x在实数范围内函数值不存在；如果a=1，y=1x是一个常数1，对于常数1没有研究的必要.为了避免上述情况，所以规定a0，a1) 下面我们来研究指数函数的性质： (在初中学生已经学过描点法画函数的图象，因此先让学生按照描点法的一般步骤：列表描点连接来画函数的图象) 在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y=10x; (2)y=2x; (3)y=()x. 我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：图象特征函数性质a10a1a10a1向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为r图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数图象都在x轴上方函数的值域为r+函数图象都过定点(0，1)a0=1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x0,ax1x0,ax1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x0,ax1x0,ax1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1)在a,b上，f(x)=ax(a0且a1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)； (2)若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xr； (3)对于指数函数f(x)=ax(a0且a1)，总有f(1)=a； (4)当a1时，若x1x2，则f(x1)f(x2). 应用示例思路1 例1 指数函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点(3,)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值. 分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=ax(a0,且a1)的解析式，也就是要先求a的值.根据函数图象经过定点(3,)这一个条件，可以求得底数a的值. 解：设f(x)=ax(a0,且a1)， 因为f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点(3,)， 所以f(3)=，即a3=，解得a=， 于是f(x)=， 所以，f(0)=0=1，f(1)=，f(-3)=-1=. 点评：从本题看出，要想确定一个指数函数，只需一个条件即可，因为表达式中只有1个参数a. 例2 比较下列各组数中两个值的大小. (1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2 分析：比较数的大小，可以利用函数的单调性，所给的几组数都是指数式，所以考虑利用指数函数的单调性来解. 解：(1)考察指数函数y=1.5x，因为1.51， 所以指数函数y=1.5x在r上是单调增函数.又因为2.53.2，所以1.52.51.53.2. (2)考察指数函数y=0.5x，因为00.51，所以指数函数y=0.5x在r上是单调减函数.又因为-1.2-1.5，所以0.5-1.20.5-1.5. (3)由指数函数的性质知1.50.31.50=1，0.81.20.80=1，所以1.50.30.81.2. 点评：比较两数的大小，一般方法是将其转化为同一函数的两个不同的函数值，利用函数的单调性进行比较，如果出现不能直接看成同一函数的两个值时，通常可在这两个数之间找一个中间值比如数1，然后将这两个数与1进行比较，从而比较出两个数的大小. 例3 (1)已知5x50.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.25x16，求实数x的取值范围. 分析：因为5x、50.5的底数相同，而0.25x、16可以将底数化为相同的底数0.25，所以可以考虑用指数函数的单调性来求解. 解：(1)因为51，所以指数函数f(x)=5x在r上是单调增函数.由5x50.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5,+). (2)因为00.251，所以指数函数f(x)=0.25x在r上是单调减函数. 因为16=()-2=0.25-2，所以0.25x0.25-2，由此可得x-2，即x的取值范围为(-2,+). 点评：在解指数不等式(方程)时，可以考虑运用指数函数的单调性来解.对于(2)我们还可以将底数化为4来解.可参照课本第51页例2. 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y=2；(2)y=()-|x|；(3)y=4x+2x+1+1；(4)=10. 分析：由于指数函数y=ax(a0,且a1)的定义域为r，所以函数y=af(x)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域. 解：(1)令x-40，得x4，定义域为x|xr,且x4. 0,21,y=2的值域为y|y0,且y1. (2)定义域为r. |x|0，y=()-|x|=()|x|()0=1，故y=()-|x|的值域为y|y1. (3)定义域为r. y=4x+2x+1+1=(2x)2+22x+1=(2x+1)2，且2x0，y1. 故y=4x+2x+1+1的值域为y|y1. (4)令0，得0，解得x-1或x1， 故y=10函数定义域为x|x-1或x1，值域为y|y1,且y10. 点评：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意充分考虑并利用指数函数本身的要求和所具有的性质，例如指数函数的单调性等. 例5 作出下列函数的图象，并说明它们之间的相互关系. (1)y=3x；(2)y=3x-1；(3)y=3x+1. 分析：画函数的图象常用的方法是描点法，描点法的一般步骤是：列表描点连线.当我们熟悉了一些基本的初等函数的图象特征后，可以考虑运用图象的变换的方法来实现作函数的图象. 解：运用描点法可以作出函数(1)y=3x;(2)y=3x-1;(3)y=3x+1的图象，如右图所示. 由图象可以得知：函数y=3x+1的图象是由函数y=3x的图象向左平移一个单位得到的；函数y=3x-1的图象是由函数y=3x的图象向右平移一个单位得到的. 点评：本题主要考查函数的图象及其平移变换，其变换的一般规律是：设a0. (1)将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位，就得到函数y=f(x+a)的图象； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移a个单位，就得到函数y=f(x-a)的图象； (3)将函数y=f(x)的图象向下平移a个单位，就得到函数y=f(x)-a的图象； (4)将函数y=f(x)的图象向上平移a个单位，就得到函数y=f(x)+a的图象. 简单地说就是“左加右减，上加下减”. 拓展思维：函数图象的变换除了平移变换外还有其他的变换，例如对称变换等，对于对称变换：一般地，函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称，函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.思路2 例1 指数函数y=f(x)的图象经过点(,e)，求f(0)、f(1)、f(-)的值. 分析：要求函数值，只要求出函数的解析式就可以了. 解：设y=f(x)=ax(a0,且a1)，因为y=f(x)的图象经过点(,e)， 所以e=a，得a=e，于是f(x)=(e)x. 所以，f(0)=(e)0=1，f(1)=(e)1=e，f(-)=(e)-=. 例2 将下列各数由小到大排列起来： (-3),(),(),(-),(-3),()3,(),()-2. 分析：这些数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是先将这些数进行分类：首先可考虑是正数还是负数，如果是负数，则再进一步分成小于-1还是介于-1与0之间，是正数的再进一步分成0与1之间的及大于1的，然后再将以上各类数中的每一类数作进一步的比较，最后将它们由小到大排列起来. 解：在所给的数中，负数有:(-3) ,()3，且(-3) -1，-1()30，所以(-3) ()30. 正数有:(-3),(),(),(-),(),()-2， 且(-3)=3,(),(),(-)=(),(),()-2=(-2)2=4， 其中大于0而小于1的有:(),()=()，且()()， 大于1的有：(-3)=3,(-)=(),(),()-2=4. 综上所述，所给的数由小到大排列的顺序为： (-3)()3()()(-)()(-3)()-2. 点评：多个幂值的比较大小，常常采取先分组再比较的方法，即先将所给的各个数值进行分类，在每类数值中比较大小，若底数相同可利用指数函数的单调性进行比较；若底数、指数都不相同时，可以利用中间量搭建“桥梁”进行比较.若数值中含有字母，应对所含字母的取值进行讨论. 例3 求下列函数的定义域和值域： (1)y=;(2)y=. 解：(1)函数y=的定义域为r. y=，(y-1)2x=-y，即(1-y)2x=y， 显然，y1，2x=0，函数y=的值域为(0,1). (2)3x-0，3x3-3，x-3.函数y=的定义域为x|x-3|，函数y=值域为0,+). 点评：一般来说，函数y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域，其值域不但要考虑f(x)的值域，还要考虑a1还是0a1，例如f(x)-4,+)时，若a1，则af(x)a-4,+)，若0a1，则af(x)(0,a-4. 例4 利用函数f(x)=()x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)f(x)-1. 分析：作图前先分别探究每一个函数的定义域和值域以及单调性，再研究探索各个函数的图象间是否有对称性及平移的相互关系，从而掌握图象的大致变化趋势，利用函数图象的相应变化，作出相应的函数图象. 解：各函数的图象如下图： 点评：利用熟悉的函数图象作图，主要是利用图象的平移变换,平移需分清平移的方向以及平移的量，即平移多少个单位.知能训练 课本第52页练习1、2、3、4、5. 解答： 1.c(提示：0a-11). 2.(1)3.10.53.12.3；(2)()-0.3()-0.24； (3)2.3-2.50.2-0.1(提示：2.3-2.52.30=1,0.2-0.10.20=1). 3.(1)x|x0,xr；(2)x|x0,xr. 4.(1)x3；(2)x-3；(3)x；(4)x0. 5.a(提示：y=2-x，即y=()x). 点评：进一步熟练掌握指数函数的图象及其性质的应用.课堂小结 指数函数是中学阶段所学的重要的初等函数之一，因此在学习中要特别注意，尤其是指数函数是新接触的函数，所以要特别加以重视.本节课的重点内容是指数函数的定义、图象和性质，要求能熟记指数函数的图象特征以及指数函数的基本性质，这是学好指数函数的关键.除此之外，还要学会根据指数函数的图象特征来探究指数函数的性质，并能根据实际需要，对指数函数的底数a分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合的思想和分类讨论的思想，通过图象变换的讨论研究，懂得世界上的万事万物之间存在必然的、内在的联系，因此，在研究图象的平移和对称变换的时候，注意对变换的方法和规律的总结，并能正确地运用这些方法和规律解决有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解. 作业 一、习题2.2(2)第1、2、4、5题. 二、阅读课本第49页至第53页内容.设计感想 在设计本节课的教学过程时，围绕以下几点进行：一是以新课程标准的基本理念为指导，着眼于培养学生自主学习的能力，因此在设计教学过程时，注意让学生多动手实践，使学生从动手操作的过程中体会函数问题研究的方法和过程；二是从学生现有的认知基础出发，在课堂教学中以本节课的知识结构为主线，充分发挥学生学习的主观能动性，让学生自主探索并获取新的知识和应用新的知识解决实际问题；三是采用层层深入的方式，分散学生学习时可能遇到的难点；四是教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化，从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.(设计者：赵家法)第二课时 指数函数(二)导入新课 设计思路一(复习导入) 在上一节课中，我们学习了指数函数的概念、图象以及性质，下面我们一起来回顾一下相关的内容.(由学生回答，再由教师归纳总结) 设计思路二(习题导入) 请同学们完成下列习题： 1.形如y=ax的函数叫做_函数，其中底数a满足的条件是_； 2.已知函数y=(m2-3m-3)3x为指数函数，则m=_； 3.若-1x0，则2x，()x，0.2x由小到大的排列顺序是_. 答案： 1.指数，a0,且a1；2.m=-1或4；3.2x()x0.2x. 思考 如何判断函数y=的奇偶性以及单调性？推进新课 新知探究 复习指数函数的相关知识： 1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质： 指数函数y=ax的图象和性质a10a1图象性质(1)定义域：r(2)值域：(0，+)(3)图象过定点(0，1)(4)在(-，+)上是单调增函数在(-，+)上是单调减函数 应用示例思路1 例1 求函数y=()的定义域、值域及单调区间. 分析：这是一个求复合函数的单调性的问题，对于这类问题必须弄清楚函数是由哪几个函数复合而成，这些函数的单调性如何，这样才能正确求解. 解：函数y=()的定义域为r. 设u=x2-3x+2=(x-)2-，所以u=x2-3x+2的值域为-,+)，减区间为(-,，增区间为,+).又因为函数y=()u是减函数，所以函数y=()的值域为(0,，单调减区间为,+)，单调增区间为(-,. 点评：对于形如y=ag(x)(a0,a1)的函数，根据例题可以得出以下结论：函数y=ag(x)的定义域与g(x)的定义域相同；应先求函数的g(x)值域，再根据指数函数的单调性及其值域来求y=ag(x)(a0,a1)的值域；对于函数y=ag(x)(a0,a1)的单调性有：当a1时，函数y=ag(x)(a0,a1)的单调性与函数g(x)的单调性相同；当0a1时，函数y=ag(x)(a0,a1)的单调性与函数g(x)的单调性相反. 例2 设a是实数，f(x)=a-(xr)，(1)试证明：对于任意实数a，函数f(x)为增函数；(2)试确定a值，使f(x)为奇函数. 分析：题中函数f(x)=a-(xr)的形式较为复杂，而题目要求证明函数的单调性和奇偶性，因此，只要严格按照函数的单调性、奇偶性的定义进行证明就能证得结论. (1)证明：设x1,x2r，且x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)=-=， 由于指数函数y=2x在r上是增函数,且x1x2,所以，即-0， 又由2x0得+10，+10，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2). 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数. (2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 即a-=-(a-)，变形得：2a=+=， 解得：a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数. 点评：(1)在题(1)的证明过程中，在对作差的结果进行正、负号判断时，利用了指数函数的值域及单调性.这也提醒我们在解这类题目时，注意运用已经掌握的函数的奇偶性及单调性来解题.(2)解题时应要求学生注意不同题型采用不同的解题方法.如题(2)，此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导得a值. 例3 设函数f(x)=1+，g(x)=f(2|x|).(1)求函数f(x)和g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性；(3)求函数g(x)的单调递增区间. 分析：对于函数g(x)，它是一个由f(x)与x=2|x|复合而成的函数，因此，可以通过这种复合关系得到函数g(x)的解析式，从而可以解决相应的问题；函数的单调区间也可以考虑用定义解决. 解：(1)由x-10得x1，所以函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+). 因为f(x)=1+，所以g(x)=f(2|x|)=1+， 由于2|x|-10，所以x0，所以函数g(x)的定义域为(-,0)(0,+). (2)因为函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+)，它不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即f(x)是非奇非偶函数. 因为函数g(x)的定义域为(-,0)(0,+)，它关于原点对称，且 g(-x)=1+=1+=g(x)，所以g(x)是偶函数. (3)设x1、x2(0,+)，且x1x2，则 g(x1)-g(x2)=(1+)-(1+)=-=. 因为0x1x2，所以-0，-10，-10，所以g(x1)-g(x2)0，所以g(x)在(0,+)上是减函数，又因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-,0)上是增函数.所以g(x)的单调增区间是(-,0). 点评：(1)研究函数的单调性和奇偶性，不能忽视函数的定义域，特别是在研究函数的奇偶性时，如果函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必定是非奇非偶函数；(2)本题(3)的解答过程中，在研究函数的单调性时，巧妙运用了函数的奇偶性，起到了事半功倍的效果；(3)本题是一个比较综合的问题，我们在解决这类问题时，要紧紧抓住题目条件，联系相关定义、概念以及公式等，环环相扣，步步为营，最终自然而然地解决问题. 例4 已知函数f(x)=x(+). (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)证明：函数f(x)在定义域上恒大于0. 分析：本题中求函数的定义域从分母不为0入手；对于函数奇偶性的讨论可以直接由函数奇偶性的定义来判断. 解：(1)定义域为x|x0. (2)因为f(x)=x(+)，所以f(x)=x(+)=. 因为f(-x)=f(x)， 所以函数f(x)为偶函数. (3)当x0时，3x1，所以3x-10.所以0，从而有+. 所以x(+)0，即当x0时，f(x)0； 当x0时，13x0，所以03x-1-1.所以-1，从而有+. 所以x(+)-0，即当x0时，f(x)0. 综上所述，函数f(x)在定义域上恒大于0. 点评：(1)判断函数的奇偶性可以直接运用定义来判断，也可以运用函数奇偶性定义的等价形式：若函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为奇函数；函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为偶函数.因此对于本题中的(2)还有以下解法： 因为f(x)-f(-x)=x(+1)=x(+1)=0. 所以得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数. (2)证明函数在定义域上恒大于0的问题，可以运用分类讨论来逐步求解，也可以转化为先证明函数f(x)在(0,+)上值域为(0,+)，再根据函数是偶函数得到函数f(x)在(-,0)上值域为(0,+)，从而证得结论.思路2 例1 对于函数f(x)=()，(1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)确定函数f(x)的单调区间. 分析：这是一个复合函数的问题，因此，可以将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题. 解：函数f(x)=()可以看成是由函数ux22x1与函数y()u复合而成. (1)由ux22x1(x1)22，当xr时，u2，此时函数y()u总有意义，所以函数f(x)定义域为r； 又由u2，所以0()u9，所以原函数的值域为(0，9. (2)因为函数ux22x1在1，)上递增， 所以对于任意的1x1x2都有u1u2，所以有()()，即y1y2. 所以函数f(x)=()在1，)上递减. 同理可得函数f(x)=()在(，1上递增. 点评：形如yaf(x)(a0，a1)的函数有如下性质： (1)定义域与函数f(x)定义域相同； (2)先确定函数uf(x)的值域，然后以u的值域作为函数yau(a0，a1)的定义域求得函数yaf(x)(a0，a1)的值域； (3)函数yaf(x)(a0，a1)的单调性，可以由函数uf(x)与yau(a0，a1)按照“同增异减”即“单调性相同为增函数，单调性相异为减函数”的原则来确定. (4)从本题中的解答过程，可以体会到换元法在解决复合函数问题时的作用. 例2 若函数f(x)=为奇函数， (1)确定a的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性. 分析：这是一个研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，可以由函数的单调性、奇偶性的定义来解决相应的问题. 解：先将函数f(x)=化简为f(x)= a-. (1)由奇函数的定义，可得f(x)f(x)0，即a-a-0，因为2a0，所以a. (2)因为f(x)，所以2x10，即x0. 所以函数f(x)的定义域为x|x0. (3)方法一：(逐步求解法)因为x0，所以2x11. 因为2x-10，所以02x11或2x10. 所以， 即函数的值域为(-,)(,+). 方法二：(利用函数的有界性)由y=f(x)，可得2x. 因为2x0，所以0，可得y或y-,即f(x)或f(x)， 所以函数的值域为(-,)(,+). (4)当x0时，设0x1x2，则 f(x1)-f(x2)=a-(a-)=-=. 0x1x2，1. 0，10，10. f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此f(x)在(0，)上递增. 同样可以得出f(x)在(，0)上递减. 点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法. 例3 若不等式3x+6x+9xa-1对(-,1上任意的x恒成立，求实数a的取值范围. 分析：本题可以将不等式变形为af(x)或af(x)的形式，因为所给不等式恒成立，因此，实数a的取值范围为af(x)max或af(x)min，这样就将问题转化为求f(x)的最大值或最小值. 解：将不等式3x+6x+9xa-1化为a-()x+()x+()x， 因为函数y=()x,y=()x,y=()x在(-,1上都是减函数，所以函数y=-()x+()x+()x在(-,1上是增函数.所以当x=1时，函数y=-()x+()x+()x有最大值，所以，所求实数a的取值范围为a. 点评：(1)在解决有关恒成立问题时的常用方法之一是“变量分离法”，即将变量x与参数a分离后分别放在不等式或等式的两边，然后，再来求相关函数的最值.(2)在求函数的最值时，运用函数的单调性来求解是常用的方法之一. 例4 已知函数f(x)=ax+(a1).(1)证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数；(2)证明：方程f(x)=0没有负数根. 分析：要证明函数在某一个区间上的单调性，常用的方法是应用函数单调性的定义来证明.要证明方程没有负数根，可以先假设方程存在负数根，然后根据题目条件推出矛盾，从而证得结论. 证明：(1)设x1、x2(-1,+)，且x1x2， f(x2)-f(x1)=， 因为x1x2，a1，所以，又因为x1、x2(-1,+)，所以x2+10，x1+10.从而有f(x2)-f(x1)0，所以函数f(x)在(-1,+)上为增函数. (2)设x0(x00)是方程f(x)=0的根，则+=0， 即=.因为x00，所以(0,1). 又因为=-1， 若x0-1，则0，所以-1-1，即-1； 若-1x00，则0x0+11，所以3，即2. 所以(-,-1)(2,+). 综上所述，满足=的x0不存在，即方程f(x)=0没有负数根. 所以，方程f(x)=0没有负数根. 点评：(1)对于函数单调性的证明或判断，利用函数单调性的定义是常用的证明或判断方法，另外，还有其他的方法，例如可以通过复合函数来判断或证明.(2)对于方程是否在某一个区间的根的存在性的判断，除了用本题的方法之外，还可以运用函数的单调性求出区间上的最值的方法来解决. 知能训练 1.已知函数f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)=10x，则当x0时，f(x)等于( ) a.10x b.10-x c.-10x d.-10-x 解答：b 2.已知函数f(x)=ax在-1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于( ) a. b. c. d. 解答：d 3.函数y=2x与y=x2的图象的交点个数为( ) a.0 b.1 c.2 d.3 解答：d 4.函数y=-|x|是( ) a.奇函数，且在(-,0上是增函数 b.偶函数，且在(-,0上是减函数 c.奇函数，且在0,+)上是增函数 d.偶函数，且在0,+)上是减函数 解答：d 5.函数f(x)=()的单调增区间为_. 解答：,2 6.函数y=()的值域为_. 解答：(0,2 7.已知函数y=a+为奇函数，则a=_. 解答： 点评：进一步掌握指数函数的图象与性质. 课堂小结 1.指数函数y=ax(a0,a1)是在定义域上的单调函数，复合函数y=au其中u是关于x的函数u(x)的单调性，由函数y=au和u=u(x)的单调性综合确定. 2.通过观察指数函数y=ax(a0,a1)，不难发现：当时，均有x0；当时，均有x0.这一性质可以归结为“底幂同，大于零；底幂异，小于零”.熟悉这一性质，对于解决有关指数函数的问题非常有用. 作业 课本第55页习题2.2(2)第6、7、8题.设计感想 本节课的内容主要是结合指数函数的性质来研究一些复合函数的性质，譬如研究复合函数的单调性和奇偶性，研究复合函数的单调区间以及函数的最值等等.其中复合函数的性质对于学生来说是难点，因此，在研究复合函数的性质时，注意归纳总结.一般地，函数y=f(u)和u=g(x)，设函数y=fg(x)的定义域为a，如果在a或a的某个子区间上函数y=f(u)(称为外函数)与u=g(x)(称为内函数)的单调性相同，则复合函数y=fg(x)在该区间上为递增函数，如果单调性相反，则复合函数y=fg(x)在该区间上为递减函数.这一个结论可以简记为“同增异减”.另外，在研究复合函数的性质时必须在函数y=fg(x)的定义域内研究.(设计者：王银娣)第三课时 指数函数(三) 导入新课 设计思路一(实际问题导入) 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量p与死亡年数t之间的关系p=()，考古学家根据上面的这个式子依据生物体内的碳14含量p的值，可以知道生物死亡的年数t.式子p=()是一个生物体内碳14含量p关于生物死亡年数t的函数，而且是一个指数函数形式的函数.这一节课我们来研究与指数函数相关的实际问题，也就是指数函数的实际应用问题. 设计思路二(情境导入) 请看下面的问题： 某厂引进一个产品的生产线，第一个月这种产品的产量是100件，由于技术的不断熟练和更新，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，按照这样的生产速度，问第十个月这种产品的产量是多少件？ 问题的解决：因为第一个月这种产品的产量是100件，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，所以，可以得出这样的结论：后一个月的产量是前一个月产量的1.5倍，也就是： 第一个月，这种产品的产量是100件，即100=1001.50； 第二个月，这种产品的产量是150件，即150=1001.5=1001.51； 第三个月，这种产品的产量是225件，即225=1001.51.5=1001.52. 如果设第x个月这种产品的产量为y件，那么根据前三个月的产量可知：y=1001.5x-1. 函数y=1001.5x-1是一个指数函数型的函数，这种函数在生产实践中常常会遇到，因此，下面我们就来研究有关指数函数的实际应用问题.推进新课 新知探究 在现实生活中，常常会碰到许多实际问题，而这些实际问题中又有许多的问题与数学有关，特别是与函数有关.在解决与函数有关的数学问题时，常常运用函数的性质来解决问题.本课时主要是运用指数函数及其性质解决数学在实际生活中的应用问题，要解决这类问题，首先需要在实际的情境中去理解、分析给出的问题，舍弃与解题无关的非本质的因素，提取有用信息,抽象转化为数学模型也就是相应的数学问题.解决这类问题的基本步骤如下： 实际问题抽象、简化、明确变量间的关系建立变量和参数间的一个明确的数学关系,建立数学模型求解该数学模型,验证答案回到实际问题,得到最后结果.应用示例思路1 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84 .写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 解：设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量y=10.84=0.841; 经过2年，剩留量y=0.840.84=0.842; 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84x(x0). 变式训练 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76 .设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x与y之间的函数关系式为_. 分析：要找到x与y之间的函数关系式，必须寻找到y随x的变化情况，从而得出结果. 解：因为每经过100年，镭剩留的质量是原来质量的95.76 ， 所以经过第一个100年，镭剩留的质量为195.76 ； 经过第二个100年，镭剩留的质量为195.76 95.76 =1(95.76 )2; 经过第三个100年，镭剩留的质量为1(95.76 )295.76 =1(95.76 )3; 所以经过x年后，也就是经过个100年，镭剩留的质量为 y=1(95.76 )，即y=0.9576. 因为x是年数，所以xn . 因此，应在空格上填：y=0.957 6，xn . 点评：在解这种类型的题的时候，可以逐一推算，根据前几个推算的结论，归纳得出最后的一般结论，从而解得结果.本题的最终结果是一个指数函数型的函数，这类问题在我们现实生活中经常能碰到，因此，掌握这类问题的解决方法，对生产实践具有十分重要的意义. 例2 某厂今年一月份、二月份、三月份的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了预测以后每一个月的产量，以这三个月的产量为预测依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x之间的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数g(x)=abx+c(其中a、b、c为常数).已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数比较合适，并请说明理由. 分析：只要将题目中已知条件代入函数表达式中，确定函数表达式中的待定系数，再利用四月份的产量验证哪一个函数表达式更接近四月份的产量. 解：设二次函数为f(x)=px2+qx+r(p、q、r为常数且p0)；g(x)=abx+c. 由已知得 解得 所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7；g(x)=-0.80.5x+1.4. 又因为f(4)=1.3,g(4)=1.35，显然g(4)更接近1.37. 所以选用g(x)=-0.80.5x+1.4作为模拟函数较为合适. 点评：本题的解法是待定系数法，即先确定函数表达式中的系数的值，从而求出函数表达式.这种方法经常用于已知函数形式或函数类型的情况，是一种十分有效的解题方法. 例3 合理控制人口增长是世界上许多国家关注的问题.到1999年底，我国有人口大约为13亿.今后如果能将人口的平均增长率控制在1 ，那么经过20年后，我国的人口约为多少？(精确到亿) 分析：要求经过20年后我国的人口，就要先寻找到我国人口随时间的推移的变化规律，也就是我国的人口数为y随时间x的变化的函数关系，而要得到这一函数关系，可以通过前几年的人口数随时间的变化而推出所要的函数关系. 解：设经过x年后，我国的人口数为y.因为1999年底，我国有人口大约为13亿，则 经过1年(即2000年)的人口数y=13+131 =13(1+1 )(亿)； 经过2年(即2001年)的人口数y=13(1+1 )+13(1+1 )1 =13(1+1 )2(亿)； 经过3年(即2002年)的人口数y=13(1+1 )2+13(1+1 )21 =13(1+1 )3(亿)； 经过4年(即2003年)的人口数y=13(1+1 )3+13(1+1 )31 =13(1+1 )4(亿)； 所以，经过x年后，人口数y=13(1+1 )x=131.01x(亿). 当x=20时，y=131.012016(亿). 所以，经过20年后，我国的人口数约为16亿. 点评：这是一个指数增长型问题.在实际问题中，我们会经常碰到与之类似的指数增长模型：设初始数值(如产品的产量)为n，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值(如产品的总产量)为y可以用y=n(1+p)x来表示.我们把形如y= ax(其中 r,a0且a1)的函数称为指数型函数，这是一个在实际应用中十分有用的函数模型. 例4 20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8 左右.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结果取整数). 解：设2000年我国年国内生产总值是1,x年后我国年国内生产总值为y.因为国内生产总值年平均增长7.8 ,所以从2001年开始，每年的国内生产总值是上一年的1.078倍，则 经过1年，y=11.078=1.078; 经过2年，y=1.0781.078=1.0782; 经过3年，y=1.07821