人教A版选修23 2.3.2 离散型随机变量的方差 课件（63张）.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 1 通过实例 理解离散型随机变量方差的概念 能计算简单离散型随机变量的方差 并能解决一些实际问题 2 通过本节的学习 体会离散型随机变量的方差在实际生活中的意义和应用 提高数学应用意识 激发学习兴趣 本节重点 离散型随机变量方差的概念与计算 本节难点 对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差的计算 1 离散型随机变量与样本相比较 随机变量的数学期望的含义相当于样本均值 随机变量取各个不同值 相当于各个不同样本点 随机变量取各个不同值的概率相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重 2 离散型随机变量的方差 或标准差 的含义 或作用 可理解为刻画随机变量离散程度的量 也可理解为刻画随机变量集中程度的量 也可理解为刻画随机变量分散程度的量 教材中解释为 反映随机变量取值偏离于均值的平均程度的量 这种解释 指明了随机变量集中的位置是随机变量的均值 方差或标准差这个度量指标是一种加权平均的度量指标 3 1 公式d ax b a2d x 的证明 设离散型随机变量x的分布列为由y ax b a b为常数 知y也是离散型随机变量 y的分布列为 2 若x服从两点分布b 1 p 则d x p 1 p 设随机变量x b 1 p 则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得e x np 于是d x 0 p 2 1 p 1 p 2p p 1 p p 1 p p 1 p 2 样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的 用它可以刻画样本数据的 3 随机变量的方差 标准差的定义 设离散型随机变量的分布列如下表 偏离程度 稳定性 4 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于的程度 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的平均程度 5 若a b为常数 则d ax b 6 若x服从两点分布 则d x 7 若x服从二项分布 即x b n p 则d x 均值 平均 越小 a2d x p 1 p np 1 p 例1 已知随机变量x的分布列为求x的均值 方差和标准差 分析 由题目可获取以下主要信息 给出x的分布列 求x的期望 方差和标准差 解答本题可先弄清楚题目的要求 再直接应用相应的定义求解 点评 已知随机变量的分布列求方差时 首先要计算均值 然后代入方差公式d x xi e x 2 pi 在应用方差公式时要注意 xi e x 2 pi中的平方 总之 分布列 均值 方差以及标准差这几个特征量是密不可分的 对它们的求解方法一定要熟练 编号为1 2 3的三位学生随意入座编号为1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生的个数是x 求e x d x 例2 已知随机变量x的分布列是试求d x 和d 2x 1 分析 已知分布列求方差 可先求出均值 再套用公式计算 解析 e x 0 0 2 1 0 2 2 0 3 3 0 2 4 0 1 1 8 d x 0 1 8 2 0 2 1 1 8 2 0 2 2 1 8 2 0 3 3 1 8 2 0 2 4 1 8 2 0 1 1 56 对于d 2x 1 可用两种方法求解 方法1 2x 1的分布列如下表 e 2x 1 2 6 d 2x 1 1 2 6 2 0 2 1 2 6 2 0 2 3 2 6 2 0 3 5 2 6 2 0 2 7 2 6 2 0 1 6 24 方法2 利用方差的性质d ax b a2d x d x 1 56 d 2x 1 4d x 4 1 56 6 24 点评 求随机变量函数y ax b的方差 一是先求y的分布列 再求其均值 最后求方差 二是应用公式d ax b a2d x 求 已知x是一个随机变量 随机变量x 5的分布列如下表 试求d x 解析 x 5的分布列已知 e x 5 2 0 2 1 0 1 0 0 1 1 0 4 2 0 2 0 3 d x d x 5 2 0 3 2 0 2 1 0 3 2 0 1 0 0 3 2 0 1 1 0 3 2 0 4 2 0 3 2 0 2 2 01 例3 已知某运动员投篮命中率p 0 6 1 求一次投篮命中次数x的期望与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的均值与方差 分析 1 投篮一次可能投中 也可能不中 投中次数x服从两点分布 2 重复五次投篮的投中次数 服从二项分布 解析 1 投篮一次命中次数x的分布列为则e x 0 0 4 1 0 6 0 6 d x 0 0 6 2 0 4 1 0 6 2 0 6 0 24 2 由题意 重复5次投篮 命中次数 服从二项分布 即 b 5 0 6 由二项分布期望与方差的计算公式 有e 5 0 6 3 d 5 0 6 0 4 1 2 点评 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点 1 写出离散型随机变量的分布列 2 正确应用均值与方差的公式进行计算 要熟练掌握两点分布 二项分布的期望与方差的公式 一次数学测验由25道选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项是正确的 每个答案选择正确得4分 不作出选择或选错不得分 满分100分 某学生选对任一题的概率为0 6 求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差 解析 设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为 所得的分数 成绩 为 则 4 由题知 b 25 0 6 e 25 0 6 15 d 25 0 6 0 4 6 e e 4 4e 60 d d 4 42 d 16 6 96 该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96 例4 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点项目建设 为了对重点项目建设负责 政府到两建材厂抽样检查 从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下表 其中 和 分别表示甲 乙两厂材料的抗拉强度 在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下 比较甲 乙两厂材料哪一种稳定性较好 分析 首先看两厂材料的抗拉强度的期望 然后比较它们的方差 解析 e 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 e 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 d 0 1 110 125 2 0 2 120 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 135 125 2 50 d 0 1 100 125 2 0 2 115 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 145 125 2 165 由于e e 而d d 故甲厂的材料稳定性较好 点评 方差是反映随机变量取值稳定的特征数 方差越小 说明取值越稳定 甲 乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量 分别记为x1和x2 它们的分布列分别为计算x1和x2的均值和方差 并以此分析甲 乙两射手的技术状况 分析 由题目可获取以下主要信息 甲 乙两射手的分布列已给出 计算甲 乙双方的均值与方差 解答本题可选计算出e x1 e x2 d x1 d x2 然后利用均值与方差的意义分析 解析 由分布列的性质可得 e x1 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 e x2 0 0 2 1 0 2 2 0 6 1 4 d x1 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 d x2 0 1 4 2 0 2 1 1 4 2 0 2 2 1 4 2 0 6 0 64 由上述计算知 乙的平均水平较甲好一点 但乙的稳定性不如甲 例5 某人有5把钥匙 其中只有一把能打开某一扇门 今任取一把试开 不能打开者除去 求打开此门所需试开次数x的均值和方差 分析 由题目可获取以下主要信息 某人有5把钥匙及其各自的功能 不放回地取钥匙打开门 解答本题可先设出试开此门所需的次数 再逐一试开 求出分布列 然后根据公式求解 点评 个数较小时 可逐个处理 但当个数较多时 要注意归纳总结 探讨规律 培养自己的概括能力 本例题中若将 5把钥匙 改为 看上去样子相同的n把钥匙 呢 一 选择题1 甲 乙两个运动员射击命中环数 的分布列如下表 其中射击比较稳定的运动员是 a 甲b 乙c 一样d 无法比较 答案 b 解析 e 9 2 e 9 2 e d 0 76 d 0 56 d 乙稳定 2 设随机变量x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 则 a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45 答案 a 答案 c 二 填空题4 某射