苏教版必修三 2.3.2　方差与标准差 学案.docx

2.3.2方差与标准差学习目标1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.3.体会用样本估计总体的思想知识点一极差(1)定义：一组数据的最大值与最小值的差(2)作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中知识点二方差、标准差思考若两名同学的两门学 的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？答案可以通过考察样本数据的分散程度的大小梳理标准差与方差：一般地，(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s .(2)标准差的平方s2叫做方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0时，每一组样本数据均为.1一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近()2标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性()3一般来说，平均数越大，方差越大()类型一标准差、方差的计算例1计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)解90(1)3(2)140(2)(3)90090；计算xi(i1,2，8)，得各数据为1,3，2,1,4,0，2，3；计算(xi)2(i1,2，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9；计算方差：s2(194116049)5.5；计算标准差：s2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟(1)标准差公式及变形要记忆牢固，运用熟练(2)方差、标准差单位不一致，要注意区别跟踪训练1已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？解方法一3，x4.由方差公式有：s2(13)2(33)2(23)2(53)2(43)22，s.方法二3，x4，由方差公式的变形形式有：s2(1232225242)322，s.类型二感受数据的离散程度例2分别计算下列四组样本数据的平均数、标准差，并画出条形图，说明它们的异同点(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解平均数、标准差计算如下：(1)5，s0.00.(2)5，s2(45)23(55)23(65)23，s0.82.(3)5，s2(35)22(45)22(55)2(65)22(75)22，s1.49.(4)5，s2(25)24(55)2(85)24s2.83.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大反思与感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定跟踪训练2有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？解甲(78795491074)7，同理可得乙7.条形图如下：通过条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中类型三标准差、方差的应用例3甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定反思与感悟(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散(3)若样本数据都相等，则s0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的跟踪训练3某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位： g)：甲：10210199981039899乙：110115908575115110(1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定解(1)采用的抽样方法是：系统抽样(2)甲(10210199981039899)100；乙(110115908575115110)100；s(102100)2(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99100)2(4114941)3.43；s(110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110100)2(100225100225625225100)228.57.所以ss，故甲车间产品较稳定.1下列说法正确的是_在两组数据中，平均数较大的一组方差较大；平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高答案解析中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；中求和后还需取平均数；中方差越大，射击越不平稳，水平越低2将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为_答案解析由题意知这组数据平均数是91，解得x4.所以这组数据的方差是s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2(16910190).3若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是_答案24.56解析由5，得x14.同理y9.由s2(12223214292)5.8224.56.4某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_答案(1)7(2)2解析(1)(78795491074)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.命中环数标准差为2.5样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为_答案2解析由题意知(a0123)1，解得a1，所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.1标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差2现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性3在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案一、填空题1已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为_答案解析样本容量n5，(12345)3，s .2在某次测量中得到的a样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b样本数据恰好是a样本数据每个都加2后所得数据，则a，b两样本的下列数字特征对应相同的是_众数；平均数；中位数；标准差答案解析对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变3一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是_答案2解析一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，2x461055，解得x3，此组数据的方差s2(25)2(35)2(45)2(65)2(105)28，此组数据的标准差s2.4一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是_答案62.8,3.6解析每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变5.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分 99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a_；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是_答案5甲组解析由题意可知89，解得a5.因为s(14)2(1)209262，s(13)2(4)209282，所以ss，故成绩相对整齐的是甲组6抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_答案2解析甲(8791908993)90，乙(8990918892)90，s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.7高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则 xy 的值为_答案18解析由题意得，108，35.2，由解得x99，y117，或x117，y99，所以 xy 18.8.如图是2017年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为_答案85,1.6解析由题意(8484868487)85.s2(8485)2(8485)2(8685)2(8485)2(8785)2(11114)1.6.9有一组数据：19,20，x,43，已知这组数据的平均数是整数，且20x28，则这组数据的平均数及方差分别为_，_.答案2697.5解析(1920x43)为整数，不妨设为 ，则x4 82，又20x28.即204 8228，25 27， 26，x22，即方差s2(1926)2(2026)2(2226)2(4326)297.5.10设一组数据x1，x2，xn的标准差为sx，另一组数据3x1a,3x2a，3xna的标准差为sy，则sx与sy的关系为_答案sy3sx解析设x1，x2，xn的平均数为，则3x1a,3x2a，3xna的平均数为3a.sy 3sx，sy3sx.11为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案10解析设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知7，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，五个整数的平方和为20，则必为0119920，由 x7 3可得x10或x4.由 x7 1可得x8或x6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.二、解答题12为了检验a，b两条 线从 络下载数据的稳定性，现选取一天内的10个不同的时间点，测得分别用a，b两条 线在同一 址下载同一文件所需要的时间(单位：s)如下表：a40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8b40.040.039.940.039.940.140.040.140.139.9分别计算a，b两条 线在同一 址下载同一文件所用时间的标准差，并比较两者下载时间的稳定性解从数据容易得到a，b两条 线在同一 址下载同一文件10次所需时间的平均数ab40(s)分别计算出它们下载10次所用时间的标准差：sa0.161(s)，sb0.077(s)由上面的计算可以看出：a，b两条 线在同一 址下载同一文件10次所需时间的平均数相同，而a 线下载时间的标准差为0.161 s，比b 线下载时间的标准差0.077 s大，说明b 线下载时间更稳定一些13某工厂36名工人的年龄数据如表所示(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的平均数和方差s2.解(1)由系统抽样，将36名工人分为9组(4人一组)，每组抽取一名工人因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人，即编号为2的工人，故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)平均数40；方差s2(4440)2(4040)2(3640)2(43