人教B版必修2 2.2.2 直线方程的几种形式 课件（41张）.pptx

2 2 2直线方程的几种形式 1 根据确定直线位置的几何要素 探索并掌握直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式及一般式 尤其要掌握点斜式 斜截式和一般式 2 理解直线与二元一次方程的对应关系 1 2 1 直线方程的几种形式 1 2 1 2 做一做1 1 直线kx y 1 3k 当k变化时 所有直线都通过定点 a 0 0 b 0 1 c 3 1 d 2 1 解析 直线方程可化为y 1 k x 3 由点斜式知该直线必过定点 3 1 答案 c 1 2 做一做1 2 集合a x x为直线的斜截式方程 b x x为一次函数的解析式 则集合a b间的关系为 a a bb b ac b ad a b答案 b 1 2 做一做1 3 若ac0 那么直线ax by c 0必不过 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 1 2 1 2 2 几种特殊直线的方程直线方程都是关于x y的一次方程 关于x y的一次方程都表示直线 选用点斜式 斜截式 两点式求直线方程时 要考虑特殊情况下的直线方程 坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线 过点 a b 且平行于x轴的直线方程为y b 过点 a b 且平行于y轴的直线方程为x a 平行于y轴的直线的斜率不存在 x轴的方程是y 0 y轴的方程是x 0 y轴的斜率不存在 1 2 做一做2 1 若关于x y的方程 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1 0表示一条直线 则实数m满足 解析 由2m2 m 3 0得m 1或m 由m2 m 0得m 0或m 1 因此要使2m2 m 3和m2 m不同时为0 只需m 1即可 答案 c 1 2 做一做2 2 已知直线过点 1 1 则 1 垂直于x轴的直线方程为 2 垂直于y轴的直线方程为 3 截距相等的直线方程为 答案 1 x 1 2 y 1 3 y x或y x 2 1 2 3 4 1 直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化剖析 直线方程各种形式之间的转化关系如下 1 2 3 4 2 直线方程的几种形式的选择技巧剖析 1 直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性 如对于点斜式和斜截式 要求直线的斜率存在 因此 如果选用点斜式或斜截式 应考虑斜率不存在的情况 对于两点式 它不能表示平行或重合于坐标轴的直线 截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外 还不能表示过原点的直线 那么 如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢 一般地 已知一点通常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或两点式 另外 从所求的问题来看 若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长 则应选用截距式 1 2 3 4 2 待定系数法是求直线方程最基本 最常用的方法 但要注意选择直线方程的形式 一般地 已知一点就待定斜率k 但应注意讨论当斜率k不存在时的情形 如果是已知斜率k 一般选择斜截式 待定纵截距b 如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式 待定横截距和纵截距 一般来说 几个系数待定就应列出几个方程 有的题目中要求的直线方程可以同时选用几种形式 但选择的形式不同 导致的运算繁简程度就不同 1 2 3 4 3 教材中的 函数y kx b与方程y kx b 这两种说法的含义相同吗 剖析 不相同 当k 0时 函数y kx b是一次函数 方程y kx b表示斜率不为0的直线 当k 0 b 0 时 函数y kx b是常数函数 方程y kx b表示一条平行于x轴的直线 1 2 3 4 4 教材中的 思考与讨论 已知两点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 y1 y2 求直线ab的方程 名师点拨把两点式方程化为整式 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 直线方程的点斜式 例1 求下列直线的方程 1 过点p 4 3 斜率k 2 2 过点p 2 5 且与x轴平行 3 过点p 3 1 且与y轴平行 分析 利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答 解 1 直线过点p 4 3 斜率k 2 由点斜式得y 3 2 x 4 整理得所求方程为2x y 5 0 2 直线过点p 2 5 且与x轴平行时 斜率k 0 故所求直线方程为y 5 0 x 2 即y 5 3 直线与y轴平行 说明斜率不存在 又因为直线过点p 3 1 所以直线的方程为x 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件 对于斜率为0和斜率不存在的情况要区别对待 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 2 经过点 10 3 且平行于x轴的直线方程为 3 若直线l的方程为y 2 x 1 1 则该直线的斜率为 4 若直线方程为y 2 k x 3 则该直线必经过定点p 且点p坐标为 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 2 由直线与x轴平行 得直线的斜率k 0 故所求直线的方程为y 3 3 直线方程可化为y 1 2 x 1 它表示经过点 1 1 斜率为 2的直线 即直线斜率为 2 4 直线方程为y 2 k x 3 它表示经过点 3 2 斜率为k的直线 因此直线经过的定点p的坐标为 3 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 直线方程的斜截式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思根据直线的方程判断直线在直角坐标平面中的位置时 通常把直线转化成斜截式的形式 利用斜率和截距的几何意义作出判断 若直线l的方程是y kx b 则有 1 k 0 b 0 l过第一 二 三象限 2 k 0 b 0 l仅过第一 三象限 3 k 0 b0 l过第一 二 四象限 5 k0 l仅过第一 二象限 8 k 0 b 0 l为x轴 不过任何象限 9 k 0 b 0 l仅过第三 四象限 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 1 与x轴平行且在y轴上的截距为的直线的方程为 2 若直线y kx b经过第一 三 四象限 则直线y bx k经过第象限 解析 1 与x轴平行时 直线斜率为0 因此由斜截式得直线方程为y 2 因为y kx b经过第一 三 四象限 所以k 0 b 0 因此在直线y bx k中 b 0 k 0 所以它经过第二 三 四象限 答案 1 y 2 二 三 四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 直线方程的两点式 例3 三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形的三条边所在直线的方程 分析 由于每一条边上的两个点 顶点 已知 故可直接用两点式求解 或由两点可求出每条边所在直线的斜率 故可选择一个点 两顶点中的一个 利用点斜式求该边所在直线的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式 但要注意判断是否满足两点式的适用条件 不满足时 可直接写出直线方程 2 一定要注意两点式的对称性 x1 x2 y1 y2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 求满足下列条件的直线的方程 1 经过点a 0 3 b 2 1 2 经过点m 3 1 n 3 2 3 经过点p 2 2 q 3 2 4 经过点c 2 3 d 5 6 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 直线方程的一般式 例4 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a r 1 若l在两坐标轴上的截距相等 求l的方程 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 分析 1 从截距的定义入手 因方程中含有变量a 故需要对截距进行分类讨论 问题 2 中涉及直线在坐标系中的位置问题 可将方程转化为斜截式 从斜率和截距两方面进行综合考虑 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 当然相等 所以a 2 方程即为3x y 0 当a 2时 截距存在且均不为0 所以a 0 方程即为x y 2 0 2 将l的方程化为y a 1 x a 2 所以a 1 综上 a的取值范围是a 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思对于与截距有关的问题 一定要注意截距为0的特殊情况 再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式 斜截式等 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 已知直线l的斜率为2 且与x轴 y轴围成的三角形的面积为36 求此时直线与x轴 y轴围成的三角形的周长 分析 已知斜率 且与坐标轴上的截距有关 因此可设斜截式y 2x b 利用直线l和x轴 y轴围成的三角形的面积为36 求出直线l的方程 然后再求三角形的周长 解由于直线l的斜率为2 则设l的方程为y 2x b 即b 12 因此 l的方程为y 2x 12或y 2x 12 当b 12时 l在x轴 y轴上的截距分别为 6 12 当b 12时 l在x轴 y轴上的截距分别为6 12 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错辨析 易错点 忽视截距式方程适用的条件致错 例5 求经过点p 2 3 并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例6 求过点m m 0 和点n 2 1 的直线的方程 错解 由两点式直线方程得 整理得x m 2 y m 0 错因分析 没有分类讨论 而忽视了两点式方程的适用条件为x1 x2 且y1 y2 因题中已知条件含参数 故应分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 正解 1 当m 2时 过点m m 0 和点n 2 1 的直线斜率不存在 其方程为x 2 因为直线过点n 2 1 即x m 2 y m 0 因为当m 2时 上述方程也就是x 2 0 即x 2 故所求直线方程为x m 2 y m 0 1 2 3 4 5 1若直线方程为y 3 x 4 则在该直线上的点是 a 4 3 b 3 4 c 4 3 d 4 3 解析 由直线方程的点斜式知该直线过点 4 3 答案 c 1 2 3 4 5 2过点a 2 1 且与x轴垂直的直线的方程是 a x 2b y 1c x 1d y 2解析 过点 x0 y0 与x轴垂直的直线的方程