人教B版 选修45 1.2 基本不等式 作业.docx

1.2 基本不等式一、单选题1已知变量满足约束条件若目标函数在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（ ）a7 b8 c9 d不存在【答案】c【解析】约束条件表示的区域如图阴影部分所示：目标函数可化为，由于，所以目标函数斜率为负值，所以目标函数在点取得最小值，即 , .故本题正确答案为点睛：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用. 解决线性规划问题要求：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错在用基本不等式求最值时，基本不等式的应用需要具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2（2014重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（ ）a.6+2 b.7+2 c.6+4 d.7+4【答案】d【解析】试题分析：利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）=log2，log4（3a+4b）=log4（ab）3a+4b=ab，a4，a0b00，a4，则a+b=a+=a+=（a4）+7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号故选：d点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题3（2014烟台三模）设二次函数f（x）=ax24x+c（xr）的值域为0，+），则的最小值为（ ）a3 b c5 d7【答案】a【解析】试题分析：由题意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0，则则2=3，当且仅当时取等号，则的最小值是3故选a考点：基本不等式.4已知ab0，则a+4a+b+1a-b的最小值为（ ）a3102 b4 c23 d32【答案】d【解析】因a=12(a+b)+(a-b)，故a+4a+b+1a-b=12(a+b)+4a+b+12(a-b)+1a-b，又因为11(a+b)+4a+b22,12(a-b)+1a-b212=2，所以a+4a+b+1a-b32，当且仅当a+b=2a-b=2，即a=12(2+2)b=12(2-2)取等号，应选答案d。点睛：解答本题的关键是变形a=12(a+b)+(a-b)，也是解答这个问题的难点所在。通过这一巧妙变形从而将原式化为a+4a+b+1a-b=12(a+b)+4a+b+12(a-b)+1a-b，然后巧妙运用分组组合，借助基本不等式求出其最小值为32。5已知x，y均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则xy的最小值为（ ）a24 b32 c20 d28【答案】c【解析】因为x,y均为正实数，所以x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(x+2)+(y+2)1x+2+1x+2-462+2-4=20，应选答案c。6下列函数中，最小值是2的是（ ）a bc d.y=x【答案】d【解析】时， ，a错， 时， 才能成立，b错；当时， ，c错， ， 时，取等号，d正确故选d7（2014潍坊模拟）若a0，b0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（ ）a b+1 c2 d【答案】d【解析】试题分析：由题设知ab，所以，=，由此能够排除选项a、b、c，从而得到正确选项解：a0，b0，且a+b=4，ab，故a不成立；，故b不成立；，故c不成立；ab4，a+b=4，162ab8，=，故d成立故选d考点：基本不等式二、填空题8设二次函数.若不等式的解集为，则的最大值为_【答案】【解析】由题设可得对一切实数恒成立，取可得且判别式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，所以，令，则代入（当且仅当取等号），故的最大值是，应选答案。点睛：解答本题的关键是怎样运用不等式对一切实数恒成立，解答本题时，先确定二次项系数是正实数，否则当都不符合题设。然后再依据题设条件推断是是非负数，最后通过巧妙变形运用基本不等式使得问题巧妙获解，特别提示的是两个等号的取得不相矛盾，即与判别式取等号可以同时取得等号，难度较大。9已知a，b为实数，且4a2+b2=2，则2a+b的最大值为_【答案】2【解析】，当且仅当时取等号，所以的最大值为2点睛：（1）基本不等式： 都是正数，则（当且仅当时取等号），（2）基本不等式的其他形式： ， ， ， （3）在用基本不等式求最值时，要注意条件：一正二定三相等，三个条件缺一不可，否则不能用基本不等式求最值三、解答题10已知函数f(x)=loga(a2x+t)，其中且（1）当a=2时，若无解，求的范围；（2）若存在实数m，n（mn），使得xm,n时，函数f(x)的值域都也为m,n，求的范围【答案】（1）t14；（2）0t0，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于t的不等式即可求解试题解析：（1）log2(22x+t)x=log22x，22x+t0，则问题等价于关于u的二次方程u2-u+t=0在u(0,+)上有两个不相等的实根，即u1+u20u1u200，即t0t14，得0t0， 12a+13b+14c=132a+3b+4c12a+13b+14c=133+2a3b+3b2a+2a4c+4c2a+3b4c+4c3b3当且仅当2a=3b=4c，即a=12，b=13，c=14时取等号，即12a+13b+14c3.【解析】【详解】分析：（1）绝对值不等式，分段讨论求最值；（2）根据三个正数的基本不等式公式，代入即可证明.详解：（1）由fx=-3,x02x-3,0x0， 12a+13b+14c=132a+3b+4c12a+13b+14c=133+2a3b+3b2a+2a4c+4c2a+3b4c+4c3b3当且仅当2a=3b=4c，即a=12，b=13，c=14时取等号，即12a+13b+14c3.点睛：绝对值不等式问题需要分段讨论，可根据图像辅助解题，三个正数的不等式需要注意等号成立的条件.12x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，axby1，xy的最小值为18，求a，b的值【答案】a=2,b=8. 或a=8,b=2.【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【详解】xy0，a0，b0且axby1，xy(xy) ax+byabbxyayxab2bxyayxab2ab(ab)2，当且