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第二章 推理与证明 2 3数学归纳法 2 3数学归纳法 课题引入 不完全归纳法 对于某类事物 由它的一些特殊事例或其全部可能情况 归纳出一般结论的推理方法 叫归纳法 特点 an a1 n 1 d 如何证明 1 3 5 2n 1 n2 n n 费马 fermat 是17世纪法国著名的数学家 他曾认为 当n n时 一定都是质数 这是他观察当n 0 1 2 3 4时的值都是质数 提出猜想得到的 半个世纪后 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉 euler 发现 4294967297 6700417 641 从而否定了费马的推测 没想到当n 5这一结论便不成立 举例说明 一个数列的通项公式是 an n2 5n 5 2请算出a1 a2 a3 a4 猜测an 由于a5 25 1 所以猜测是不正确的 所以由归纳法得到的结论不一定可靠 1 1 1 1 猜测是否正确呢 思考 这个游戏中 能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么 多米诺骨牌 domino 是一种用木制 骨制或塑料制成的长方形骨牌 玩时将骨牌按一定间距排列成行 轻轻碰倒第一枚骨牌 其余的骨牌就会产生连锁反应 依次倒下 多米诺是一项集动手 动脑于一体的运动 一幅图案由几百 几千甚至上万张骨牌组成 骨牌需要一张张摆下去 它不仅考验参与者的体力 耐力和意志力 而且还培养参与者的智力 想象力和创造力 多米诺是种文化 它起源于中国 有着上千年的历史 只要满足以下两个条件 所有多米诺骨牌就能全部倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 依据 条件 2 事实上给出了一个递推关系 当第k块倒下时 相邻的第k 1块也倒下 思考 你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗 1 第一块骨牌倒下 基础 二 数学归纳法的概念 证明某些与自然数有关的数学题 可用下列方法来证明它们的正确性 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 求证 请问 第 步中 当n k 1时 的证明可否改换为 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 1 3 5 2k 1 2k 1 k 1 2 为什么 例 用数学
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