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文档简介

第四章圆与方程4 1圆的方程4 1 1圆的标准方程 我们在前面学过 在平面直角坐标系中 两点确定一条直线 一点和倾斜角也能确定一条直线 在平面直角坐标系中 如何确定一个圆呢 复习引入 思考 圆有什么特征呢 思考 在平面直角坐标系中 如何确定一个圆呢 圆心 确定圆的位置半径 确定圆的大小 1 圆上各点到定点 圆心 的距离都等于定长 半径r 2 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此一个圆最基本要素是圆心和半径 符合上述条件的圆的集合是什么 你能用描述法来表示这个集合吗 符合上述条件的圆的集合 圆的方程 问题 如图 在直角坐标系中 圆心 点 a的位置用坐标 a b 表示 半径r的大小等于圆上任意点m x y 与圆心a a b 的距离 圆上任意点m x y 与圆心a a b 之间的距离能用什么公式表示 根据两点间距离公式 则点m a间的距离为 即 即 x a 2 y b 2 r2 称为圆心为a a b 半径长为r的圆的标准方程 问题 圆的标准方程有什么特征 1 有两个变量x y 形式都是与某个实数差的平方 2 两个变量的系数都是1 3 方程的右边是某个实数的平方 也就是一定为正数 圆的标准方程 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点o 0 0 将x 0 y 0和半径r带入圆的标准方程 问题 圆心在坐标原点 半径长为r的圆的方程是什么 整理得 以原点为圆心 1为半径的圆称为单位圆 那么单位圆的方程是什么 1 判一判 正确的打 错误的打 1 方程 x a 2 y b 2 m2一定表示圆 2 确定一个圆的几何要素是圆心和半径 3 圆 x 1 2 y 2 2 4的圆心坐标是 1 2 半径是4 4 点 0 0 在圆 x 1 2 y 2 2 1上 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若圆的圆心坐标为 1 3 半径为 则此圆的标准方程为 2 已知圆的方程为 x 2 2 y 2 2 5 2 则圆的圆心坐标和半径分别为 3 已知圆的方程为x2 y 1 2 2 则点a 1 0 与圆的位置关系是 怎样判断点在圆内呢 还是在圆外呢 点与圆的位置关系 探究 可以看到 点在圆外 点到圆心的距离大于半径r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径r 例1的三个顶点的坐标分别a 5 1 b 7 3 c 2 8 求它的外接圆的方程 分析 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 三角形有唯一的外接圆 解 设所求圆的方程是 1 因为a 5 1 b 7 3 c 2 8 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 1 于是 典型例题 例2已知圆心为c的圆经过点a 1 1 和b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 求圆心为c的圆的标准方程 方法一 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 得a 3 b 2 r2 25 故所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 25 待定系数法 方法二 解 因为a 1 1 和b 2 2 所以线段ab的中点d的坐标为 直线ab的斜率 因此线段ab的垂直平分线l 的方程是 即x 3y 3 0 x y o a 1 1 b 2 2 d l 直接法 数形结合法 解方程组 得 所以圆心c的坐标是 圆心为c的圆的半径长 所以 圆心为c的圆的标准方程是 d 2 圆 x 2 2 y2 2的圆心c的坐标及半径r分别为 a c 2 0 r 2b c 2 0 r 2c c 0 2 r d c 2 0 r d 圆的标准方程 推导步骤 特点 求法 建系设点 写条件 列方程 化简 说明 圆心 a b

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