苏教版选修11 3.4 导数在实际生活中的应用 课件（25张）.ppt

导数在实际生活中的应用 学习目标1 通过实例 初步学会解决生活中的优化问题 如利润最大 用料最省 效率最高等 2 体会导数的广泛应用性及实际应用价值 课前自主学案 1 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 上可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值 其最值一定在 处取得 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为 极值点或区间端点 最值点 1 生活中经常遇到求 等问题 这些问题通常称为优化问题 2 解决优化问题的基本思路是 利润最大 用料最省 效率最高 实际问题中若函数在区间内只有一个点 使f x 0 能否判断此点就是所要求的最值点吗 提示 能 实际问题中 往往根据问题的性质可以断定可导函数有最大值或最小值 并且一定在定义区间内部取得 这时满足上述条件的点不必判断是否为极值点以及取什么极值 就可断定在此点处取最值 课堂互动讲练 解决面积 容积最值问题 要正确引入变量 将面积 容积表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 用总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作的容器的底面的长比宽长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出最大值 思路点拨 要使容器的容积最大 必须先用变量表示出容积的一个目标函数 总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 那么过一个顶点的三条棱的长度和为3 7m 在定义域内只有一个点x 1使y 0 当x 1时 y取得最大值ymax 1 8 此时高为3 2 2 1 2m 因此 容器高为1 2m时容器的容积最大 最大容积为1 8m3 名师点评 在求目标函数的最大 小 值时 往往根据问题的性质就可以断定有关可导函数f x 具有最大 小 值 而且一定在定义区间内部取得 这时如果方程f x 0在定义域内部只有一个根x0 那么不必讨论f x0 是否为极值 就可断定f x0 是最大 小 值 这种情况在解应用题时是常见的 变式训练1用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 角 再焊接而成如图所示的容器 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 解 设容器的高为xcm 容器的容积为v x cm3 则v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 求v x 的导数 得v x 12x2 552x 4320 12 x2 46x 360 12 x 10 x 36 令v x 0 得x1 10 x2 36 舍去 因此 在定义域 0 24 内 函数v x 只有当x 10时取得最大值 其最大值为v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 即当容器的高为10cm时 容器的容积最大 最大容积为19600cm3 实际生活中用料最省 费用最低 损耗最小 最节约时间等都是需要利用导数求解相应函数的最小值 本题满分14分 如图 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水外理池 由于地形限制 长 宽都不能超过16m 如果池外周壁建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁厚度忽略不计 且池无盖 1 写出总造价y 元 与污水处理池长x m 的函数关系式 并指出其定义域 2 污水处理池的长和宽各为多少时 污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价 名师点评 选取合适的量为自变量 并确定其取值范围 正确列出函数关系式 然后利用导数求最值 其中把实际问题转化为数学问题 正确列出函数解析式是解题的关键 变式训练2如图所示 有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线海岸的岸边a处 乙厂与甲厂在海的同侧 乙厂位于离海岸40km的b处 乙厂到海岸的垂足d与a相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 则供水站c建在何处才能使水管费用最省 利润 收益 销售额 成本 在有关利润 收益 的问题中 注意应用此公式列出函数关系式 然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 思路点拨 先由条件得出利润与单价的关系 建立函数模型 再利用导数知识求解 解 1 设商品降价x元 则多卖的商品数为kx2 若记商品在一个星期的获利为f x 则依题意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件可知 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 根据 1 可得f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 故x 12时 f x 取极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18 元 能使一个星期的商品销售利润最大 名师点评 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 生活 生产和科研中会遇到许多实际问题 要善于用数学的观点和方法分析问题 求实际问题的最大 小 值 主要步骤如下 1 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中