人教B版选修21 第三章 3.1.3　两个向量的数量积 学案.doc

3.1.3两个向量的数量积学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直知识点一两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角，记作a，b(2)范围：a，b0，特别地：当a，b时，ab.知识点二两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内积)，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律(ab)cacbc知识点三两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos|ab|a|b|1对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()2对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()3若abbc，且b0，则ac.()4(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.()类型一空间向量的数量积运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直解此命题不正确p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b)解ab|a|b|cosa，b，ab34cos1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos1204|b|2，(3a2b)(a2b)3943441627246461.反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()a.b.c.d4答案c解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913，|a3b|.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad4，e为侧面ab1的中心，f为a1d1的中点试计算：(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律跟踪训练2已知正四面体oabc的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.解(1)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.(2)|.类型二利用数量积求夹角或模例3已知bb1平面abc，且abc是b90的等腰直角三角形，abb1a1，bb1c1c的对角线都分别相互垂直且相等，若aba，求异面直线ba1与ac所成的角解如图所示，()().abbc，bb1ab，bb1bc，0，0，0且a2.a2.又|cos，cos，.又，0，180，120，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线ba1与ac所成的角为60.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3如图，在空间四面体oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求oa与bc所成角的余弦值解因为，所以|cos，|cos，84cos13586cos1201624.所以cos，.即oa与bc所成角的余弦值为.例4如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90，baa1daa160，求ac1的长解因为，所以2()22222()因为bad90，baa1daa160，所以，90，60，所以21492(13cos6023cos60)23.因为2|2，所以|223，|，即ac1.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可跟踪训练4如图，已知线段ab平面，bc，cdbc，df平面，且dcf30，d与a在的同侧，若abbccd2，求a，d两点间的距离解，|2()2|2|2|2222122(22cos9022cos12022cos90)8，|2，即a，d两点间的距离为2.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图，在空间四边形oacb中，oboc，abac，求证：oabc.证明因为oboc，abac，oaoa，所以oacoab，所以aocaob.又()|cosaoc|cosaob0，所以，即oabc.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_答案45解析a与2ba垂直，a(2ba)0，即2ab|a|20.2|a|b|cosa，b|a|20，4cosa，b40，cosa，b，又a，b0，180，a与b的夹角为45.1对于向量a，b，c和实数，下列命题中的真命题是()a若ab0，则a0或b0b若a0，则0或a0c若a2b2，则ab或abd若abac，则bc答案b解析对于a，可举反例：当ab时，ab0；对于c，a2b2，只能推出|a|b|，而不能推出ab；对于d，当a0时，不能推出bc.2已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()a14b.c4d2答案b解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.3在正方体abcda1b1c1d1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个数为()a1b2c3d0答案b解析易知正确；与的夹角为120，不正确故选b.4已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.答案解析cosa，b，a，b.5已知正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad的中点，则ef的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2，|，ef的长为.1空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解一、选择题1已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则ab与ab之间的关系是()a垂直b共线c不垂直d以上都可能答案a解析由题意知|a|b|，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)2已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()a60b30c135d45答案d解析ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.3已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于()a.b5c6d.答案a解析|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc1212412211cos60411cos60411cos605，|ab2c|.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点e，f，g分别是ab，ad，dc的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()a2b2c2d2答案c解析2a2，故a错；2a2，故b错；2a2，故d错，只有c正确5已知a，b是异面直线，a，ba，c，db，acb，bdb，且ab2，cd1，则a与b所成的角是()a30b45c60d90答案c解析，()201201，又|2，|1.cos，.异面直线所成的角是锐角或直角，a与b所成的角是60.6已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于()a12b8c4d13答案d解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos120242513.7已知在平行六面体abcda1b1c1d1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线ac1的长为()a.b2c.d.答案d解析，2()22222221112(cos60cos60cos60)6，|.8.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，若bac，abacaa1，则异面直线a1b与c1a所成的角等于()a.b.c.d.答案c解析设a，b，c，则ac，bc，(ac)(bc)abbcacc2|c|2，cos，.a1b与c1a所成的角为.二、填空题9已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b，求得cosa，b.10已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.11将ab2，bc2的长方形abcd沿对角线ac折成60的二面角，则b，d间的距离为_答案解析作deac于点e，bfac于点f.由已知可得，ac4，debf，ae1，cf1，ef2.二面角的大小为60，与的夹角为120，|2()27，|，b，d间的距离为.三、解答题12.如图所示，已知空间四边形abcd，连接ac，bd，若abcd，acbd，e，f分别是ad，bc的中点，试用向量方法证明efad且efbc.证明连接af，点f是bc的中点，a()，()()，又|，ac2ad22ab2，同理ab2cd2ad22ac2，将代入可得ab2ad22ad22ab2，2ad22()0，()0，()0，0，.同理可得.efad且efbc.13.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abbc，abad，且paabbcad1，求pb与cd所成的角解由题意知|，|，pa平面abcd，0.abad，0，abbc，0，()()2|21，又|，|，cos，0，异面直线所成的角为锐角或直角，pb与cd所成的角为.四、探究与拓展14已知非零向量m，n满足4|m|3|n|