苏教版选修22 1.2.1常见函数的导数 学案.docx

1.2.1常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一几个常见函数的导数1.(kxb)k(k，b为常数)；2.c0(c为常数)；3.(x)1；4.(x2)2x；5.(x3)3x2；6.()；7.() .知识点二基本初等函数的导数公式1.(x)x1(为常数)；2.(ax)axln a(a0，且a1)；3.(logax)logae(a0，且a1)；4.(ex)ex；5.(ln x)；6.(sin x)cos x；7.(cos x)sin x.类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数.(1)ycos ；(2)y；(3)y；(4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos(x).解(1)y0.(2)yx5，y(x5)5x6.(3)y，y().(4)y.(5)y5xln 5.(6)ycos(x)sin x，y(sin x)cos x.反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.跟踪训练1(1)下列结论：(sin x)cos x；()；(log3x)；(ln x).其中正确结论的序号是_.答案解析()；(log3x)，错误，正确.(2)求下列函数的导数.y(1)(1)；y2cos2 1.解y(1)(1)，y.y2cos2 1cos x，y(cos x)sin x.类型二求函数在某一点处的导数例2求函数f(x)在x1处的导数.解f(x)，f(x)()，f(1).反思与感悟求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.跟踪训练2函数f(x)，则f(3)_.答案解析f(x)()，f(3).类型三利用导数研究切线问题例3(1)已知p，q为抛物线yx2上两点，点p，q横坐标分别为4，2，过p，q分别作抛物线的切线，两切线交于点a，则点a的坐标为_.答案(1，4)解析yx，kpay|x44，kqay|x22.p(4,8)，q(2,2)，pa的直线方程为y84(x4)，即y4x8.qa的直线方程为y22(x2)，即y2x2.联立方程组得a(1，4).(2)已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1y|cos x0，k2y|sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2cos x0(sin x0)1，即sin 2x02，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决.跟踪训练3已知函数ykx是曲线yln x的一条切线，则k_.答案解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意，得y|k，又y0kx0，而且y0ln x0，由可得x0e，y01，则k.例4求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.解设切点坐标为(x0，x)，依题意知，与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短.y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点p(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练4已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于a、b两点，o是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点p，使abp的面积最大.解设p(x0，y0)为切点，过点p与ab平行的直线斜率k y2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得p(1,1)，切线方程为2xy10.由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于a、b两点，|ab|为定值，要使abp的面积最大，只要点p到ab的距离最大，故点p(1,1)即为所求弧上的点，使abp的面积最大.1.下列函数中的求导运算正确的个数为_.(3x)3xlog3e；(log2x)；x；若y，则y|x3.答案3解析中(3x)3xln 3，均正确.2.函数f(x)x3的切线斜率等于1的有_条.答案2解析设切点为(x0，y0)，f(x0)3x1，x0.故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.答案解析f(x)，则f(1)1，a.4.求过曲线ysin x上一点p(，)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.解曲线ysin x在点p(，)处切线的斜率k=cos ，则与切线垂直的直线的斜率为，所求直线方程为y(x)，即12x18y290.5.求下列函数的导数.(1)y(1)(1)1；(2)y(cos sin )21；(3)y3log2.解(1)yx3，y3x2.(2)ycos2 sin2 2sin cos 1sin x，ycos x.(3)ylog2x，y.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y12sin2 的导数.因为y12sin2 cos x，所以y(cos x)sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.课时作业一、填空题1.下列各式中正确式子的序号是_.(x7)7x6；(x1)x2；()；()；(cos x)sin x；(cos 2)sin 2.答案解析(x1)x2；(cos 2)0.不正确.2.正弦曲线ysin x的切线的斜率等于的点为_.答案(2k，)或(2k，)(kz)解析设斜率等于的切线与曲线的切点为p(x0，y0)，y|xx0cos x0，x02k或2k，y0或y0.3.已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于_.答案4解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4.已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为ykxb，则kb_.答案28解析点(2,8)在切线上，2kb8.又y|x232212k，由可得k12，b16，kb28.5.已知f(x)x2，g(x)x3，则适合方程f(x)1g(x)的x的值为_.答案1或解析由导数公式可知，f(x)2x，g(x)3x2，所以2x13x2，即3x22x10.解得x1或x.6.已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_.答案4解析f(x)，g(x)m.g(2)，m4.7.设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点p处的切线垂直，则点p的坐标为_.答案(1,1)解析yex的导数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为k1e01.设p(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点p处的切线的斜率为k2 (m0).因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点p的坐标为(1,1).8.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为_.答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2；当y0时，x1.s1|e2|e2.9.设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.答案3解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得，在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.10.已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于_.答案解析y(ln x)，设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy0(xx0)，即yxln x01.由ln x010知，x0e.k.11.设曲线yxn1 (nn*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2x1log2x2log2x3_.答案2解析y|x1n1，yxn1在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，则xn.log2x1log2x2log2x3log2(x1x2x3)log2log22.二、解答题12.求下列函数的导数.(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)yxx .(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).13.设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，试求f2 018(x).解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 018(x)f2(x)sin x.三、探究与拓展14.设正弦曲线ysin x上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的