人教B版选修21 3.1.3　两个向量的数量积 学案.doc

3.1.3两个向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角如果a，b90，那么向量a，b互相垂直，记作ab.思考：等边abc中，与的夹角是多少？提示1202两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内积)，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律(ab)cacbc3两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|基础自测1思考辨析(1)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(2)对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(3)(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.()提示(1)互补(2)(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，但c与a不一定共线(3)2已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()a14 bc4 d2b|a2b3c|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|214，|a2b3c|.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.120cosa，b.a，b120.合 作 探 究攻 重 难数量积运算如图3122所示，已知正四面体oabc的棱长为1，点e、f分别是oa、oc的中点求下列向量的数量积：图3122(1)；(2)；(3)()()思路探究根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征解(1)正四面体的棱长为1，则|1.oab为等边三角形，aob60，于是：|cos，|cosaob11cos 60；(2)由于e、f分别是oa、oc的中点，所以efac，于是|cos，|cos，11cos，11cos 120；(3)()()()()()(2)222212121.规律方法(1)要牢记公式ab|a|b|cosa，b.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如，120易错写成60.为避免出错，应结合图形进行计算.跟踪训练1已知长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad4，e为侧面ab1的中心，f为a1d1的中点试计算： 【导学号：33242254】(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.利用数量积求夹角和模探究问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a2空间向量数量积的性质有什么作用？提示(1)向量模的应用：式子|a|可以解决有关空间长度问题(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得(3)数量积的应用：两非零向量a，b，若ab0，则两向量对应的直线相互垂直(1)如图3123，在直三棱柱abca1b1c1中，abc90，abbc1，aa1，求异面直线ba1与ac所成角的余弦值图3123(2)如图3124所示，平行六面体abcda1b1c1d1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60，求对角线ac1和bd1的长图3124思路探究(1)先求，再由夹角公式求cos，并由此确定与所成角的余弦值(2)用向量和用已知向量、表示出来，再用数量积的定义运算解(1)，且0，21.又|，|.cos，.异面直线所成角的范围是，异面直线ba1与ac所成角的余弦值为.(2)，|2()()|2|2|22()1112(cos 60cos 60cos 60)6.|，即对角线ac1的长为.同理，|2()()|2|2|22()1112(cos 60cos 60cos 60)2.|，即对角线bd1的长为.母题探究：1.(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线ba1与ac所成角的余弦值”改为“求向量与夹角的余弦值”结果如何？解由本例(1)解析可知与夹角的余弦值是.2 .(改变条件、改变结论)本例(2)中，若e为cc1的中点，求ae的长解，|2()()|2|2|22112cos 60cos 60cos 604，|.规律方法(1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.利用数量积解决垂直问题如图3125，在空间四边形oabc中，oboc，abac，求证：oabc.【导学号：33242255】图3125思路探究证明：0.证明因为oboc，abac，oaoa，所以oacoab，所以aocaob.又()|cosaoc|cosaob0，所以，即oabc.规律方法(1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.,(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练2已知空间四边形abcd中，abcd，acbd，求证：adbc.证明abcd，acbd，0，0.()()|2|2()0.，从而adbc.当 堂 达 标固 双 基1下列命题中正确的是()a(ab)2a2b2b|ab|a|b|c(ab)ca(bc)d若a(bc)，则abac0b对于a项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故a错误对于c项，数量积不满足结合律，c错误在d中，a(bc)0，abac0，abac，但ab与ac不一定等于零，故d错误对于b项，ab|a|b|cosa，b，1cosa，b1，|ab|a|b|，故b正确2如图3126，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点e，f，g分别是ab，ad，dc的中点，则下列向量的数量积等于a2的是() 【导学号：33242256】图3126a2b2c2d2c2a2，故a错；2a2，故b错；2a2，故d错，22a2，故c正确3若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a，b的夹角为，则ab_.1ab|a|b|cosa，b121.4如图3127所示，在正方体abcda1b1c1d1中，则图3127(1)，_；(2)，_；(3)，_.(1)45(2)135(3)90(1)因为，