人教B版选修45 柯西不等式与排序不等式 课件（35张）.ppt

高中数学人教b版选修4 5不等式选讲 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 第8课时柯西不等式与排序不等式 我们知道基本不等式a2 b2 2ab c2 d2 2cd 那么两不等式两边相乘会得到 a2 b2 c2 d2 4abcd 而 ac bd 2 a2c2 b2d2 2abcd 4abcd 那么 a2 b2 c2 d2 与 ac bd 2之间的大小关系能否比较出来呢 no 1middleschool mylove 预学1 二维形式的柯西不等式设a b c d均为实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时 等号成立 议一议 前面我们学习了基本不等式 如果a b r 那么 2 当且仅当a b时 等号成立 我们可以用比较法证明 用柯西不等式可以证明吗 no 1middleschool mylove 解析 由柯西不等式 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 取c d 1得 a2 b2 12 12 a b 2 即证 2 no 1middleschool mylove 预学2 二维形式的柯西不等式的变式 1 ac bd a b c d r 当且仅当ad bc时 等号成立 2 ac bd a b c d r 当且仅当ad bc时 等号成立 no 1middleschool mylove 想一想 当正数a b满足 6时 求4a 7b的最小值 no 1middleschool mylove 解析 由柯西不等式知 4a 7b 4a 7b a 5b 3a 2b 当且仅当a b 时取等号 4a 7b的最小值为 no 1middleschool mylove 预学3 1 二维形式的柯西不等式的三角不等式 设x1 y1 x2 y2 x3 y3为任意实数 则 2 二维形式的柯西不等式的向量形式 设 为平面上的两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 no 1middleschool mylove 3 柯西不等式的一般形式 设n为大于1的自然数 ai bi i 1 2 n 为任意实数 则 a1b1 a2b2 anbn 2 其中当且仅当 时 等号成立 当ai 0时 约定bi 0 i 1 2 n no 1middleschool mylove 练一练 若p q r是正实数 且满足p q r 3 求证 p2 q2 r2 3 解析 因为p q r 3 且p q r均为正实数 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 no 1middleschool mylove 预学4 对于两组实数a1 a2 an和b1 b2 bn 设a1 a2 an b1 b2 bn c1 c2 cn是b1 b2 bn的任意排列 则这两组实数的反序和 顺序和 乱序和分别是什么 它们满足的关系是什么 1 反序和 a1bn a2bn 1 anb1 2 顺序和 a1b1 a2b2 anbn 3 乱序和 a1c1 a2c2 ancn no 1middleschool mylove 它们满足的关系是a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 no 1middleschool mylove 议一议 在本书第1课时的 当堂检测 里面有这样一道题 若0 a1 a2 0 b1 b2 且a1 a2 b1 b2 1 则下列各式中最大的是 a a1b1 a2b2b a1a2 b1b2c a1b2 a2b1d 那时我们用特殊值法或作差比较法可以知道答案 现在我们学习了排序不等式 你可以更加快捷地得出答案吗 no 1middleschool mylove 解析 由于a是 顺序和 c是 反序和 b与d是其他的 我们知道 顺序和 最大 故选a 答案 a no 1middleschool mylove 1 利用柯西不等式和排序不等式求最值例1 已知实数x y z满足x2 2y2 3z2 3 求u x 2y 3z的最小值和最大值 方法指导 利用x2 2y2 3z2 3 构造柯西不等式 x 2y 3z 2 x2 y 2 z 2 12 2 2 求最值 no 1middleschool mylove 解析 因为 x 2y 3z 2 x 1 y z 2 x2 y 2 z 2 12 2 2 x2 2y2 3z2 1 2 3 18 当且仅当 即x y z时 等号成立 所以 3 x 2y 3z 3 即u的最小值为 3 最大值为3 no 1middleschool mylove 变式训练1 1 已知x y z r 且x 2y 2z 5 则 x 5 2 y 1 2 z 3 2的最小值是 a 20b 25c 36d 47 2 已知x y 1 则2x2 3y2的最小值是 no 1middleschool mylove 解析 1 由 x 5 2 y 1 2 z 3 2 12 2 2 22 x 5 2 y 1 2 z 3 2 182 324 得 x 5 2 y 1 2 z 3 2 36 当且仅当 即 时取等号 故选c no 1middleschool mylove 2 由柯西不等式 2x2 3y2 2 2 x y 2 x y 2 1 2x2 3y2 当且仅当 即x y 时 取等号 答案 1 c 2 no 1middleschool mylove 2 利用柯西不等式证明例2 设a1 a2 an an 1 求证 0 no 1middleschool mylove 方法指导 前n个式子都大于零 第n 1个式子小于零 可将原不等式化为 即 a1 an 1 1 再由a1 an 1 a1 a2 a2 a3 an an 1 结合柯西不等式证明 no 1middleschool mylove 解析 原不等式可化为 a1 an 1 1 又a1 an 1 a1 a2 a2 a3 an an 1 于是 a1 a2 a2 a3 an an 1 n2 1 即 a1 an 1 1 no 1middleschool mylove 所以 故 0 no 1middleschool mylove 变式训练2 已知三角形的三边a b c对应的高为ha hb hc r为三角形内切圆的半径 求证 ha hb hc的最小值为9r 并判断此时三角形的形状 no 1middleschool mylove 解析 设三角形的面积为s 则2s aha bhb chc 又因为2s r a b c 所以ha hb hc 2s r a b c no 1middleschool mylove 由柯西不等式得 a b c 2 2 2 2 2 2 2 9 所以ha hb hc 9r 即ha hb hc的最小值为9r 当且仅当a b c时取等号 此时三角形为等边三角形 no 1middleschool mylove 3 利用排序不等式证明例3 设a1 a2 an是互不相等的正数 n 2 且an 1 求证 n 方法指导 分析目标 构造有序排列 运用 反序和 乱序和 顺序和 证明 no 1middleschool mylove 解析 设1 a1 由排序不等式知 乱序和不小于反序和 又等号均不成立 故 即 a1 a2 an 1 1 1 n no 1middleschool mylove 变式训练3 已知a b c 0 求证 a3 b3 c3 a2b b2c c2a 解析 取两组数 a b c与a2 b2 c2 显然a3 b3 c3是顺序和 a2b b2c c2a是乱序和 所以a3 b3 c3 a2b b2c c2a 1 柯西不等式的常见类型及解题策略 1 求表达式的最值 依据已知条件 利用柯西不等式求最值 注意取等号的条件 2 求解析式的值 利用柯西不等式的条件 注意取等号的条件 进而求得各个量的值 从而求出解析式的值 3 证明不等式 注意所证不等式的结构特征 寻找柯西不等式的条件 再证明 2 掌握 顺序和 乱序和 反序和 的概念 会使用 顺序和 乱序和 反序和 注意观察不等式的结构形式与排序不等式结构的特征 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 2015年陕西卷 已知关于x的不等式 x a b的解集为 x 2 x 4 1 求实数a b的值 2 求 的最大值 no 1middlesc