苏教版选修23 1.5.2 二项式系数的性质及应用 课件（39张）.pptx

第1章 计数原理 1 5二项式定理1 5 2二项式系数的性质及应用 学习目标 1 能运用函数观点分析处理二项式系数的性质 2 理解和掌握二项式系数的性质 并会简单的应用 1 知识梳理自主学习 2 题型探究重点突破 3 当堂检测自查自纠 知识点一二项式系数的性质 2n 思考根据二项式系数表的第1个规律 同一行中与两个1等距离的项的系数相等 你可以得到二项式系数的什么性质 知识点二二项式系数的最大值 思考二项式系数何时取得最大值 例1已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求下列各式的值 1 a1 a2 a7 题型一二项展开式的系数和问题 解令x 1 则a0 a1 a2 a3 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a7 37 1 令x 0 得a0 1 代入 中得 a1 a2 a3 a7 2 2 a1 a3 a5 a7 解由 得2a1 2a3 2a5 2a7 1 37 3 a0 a2 a4 a6 解由 得2a0 2a2 2a4 2a6 1 37 4 a0 a1 a2 a7 解方法一 1 2x 7的展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 方法二 a0 a1 a2 a7 是 1 2x 7展开式中各项的系数和 令x 1 a0 a1 a7 37 2187 反思与感悟赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个值 也可以取几组值 解决问题时要避免漏项 一般地 对于多项式f x a0 a1x a2x2 anxn 各项系数和为f 1 奇次项系数和为12 f 1 f 1 偶次项系数和为12 f 1 f 1 a0 f 0 跟踪训练1设 2 3x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 方法二令x 0 则展开式可化为a0 2100 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 解令x 1 与 联立相减可得 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 解原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 题型二求二项展开式中的最大项问题 1 求展开式中二项式系数最大的项 解令x 1 则二项式各项系数的和为f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍 或2n 32 n 5 由于n 5为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项 它们分别是 2 求展开式中系数最大的项 反思与感悟 1 求二项式系数最大的项 要依据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 求展开式系数最大的项 如求 a bx n a b r 展开式中系数最大的项 一般是采用待定系数法 设展开式各项系数分别为a1 a2 an 1 且第r 1项系数最大 应用解出r来 即得系数最大的项 跟踪训练2在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 解设系数绝对值最大的项是r 1项 于是 所以r 8 3 系数最大的项 解由于系数为正的项为y的偶次方项 故可设第2r 1项系数最大 于是 解得r 5 即2 5 1 9项系数最大 题型三求解整除或余数问题 例3求证 32n 2 8n 9能被64整除 n n 证明当n 1时 验证成立 当n 2时 32n 2 8n 9 9 8 1 n 8n 9 因为各项均能被64整除 所以32n 2 8n 9能被64整除 反思与感悟对含指数式的整除问题 常用二项式定理证明 通常将被除数的底数化为除数或除数的倍数与一个数的和或差的形式 利用二项式定理展开 化简的各项都是除数的倍数 故展开后的多项式能被除数整除 从而证明了原式能被除数整除 跟踪训练3求证 2n 2 3n 5n 4能被25整除 n n 1 1 x 2n 1的展开式中 二项式系数最大的项是第 项 解析 1 x 2n 1展开式有2n 2项 系数最大的项是中间两项 是第n 1项与第n 2项 它们的二项式系数为 1 2 3 4 n 1 n 2 2 在 x y n的展开式中 第4项与第8项的系数相等 则展开式中系数最大的项是 1 2 3 4 解析由题意 得第4项与第8项的系数相等 则其二项式系数也相等 cn cn 由组合数的性质 得n 10 3 7 展开式中二项式系数最大的项为第6项 它也是系数最大的项 即t6 c10 x5y5 5 3 设 x2 1 2x 1 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a11 x 2 11 则a0 a1 a2 a11的值为 解析令x 1 则原式化为 1 2 1 2 1 1 9 2 a0 a1 2 1 a2 2 1 2 a11 2 1 11 a0 a1 a2 a11 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 求证 1 3 32 33n 1能被26整除 n为大于1的偶数 所以1 3 32 33n 1能被26整除 1 二项式系数问题 1 求二项式所有项的系数和 可采用 特殊值取代法 通常令字母变量为1 2 二项式系数的和是公式性的 要牢记 而系数和的求法是用 赋值法 针对不同的问题 赋值不同 课堂小结 2