华罗庚学校数学教材(六年级上)第09讲二进制小数.doc

本系列共 14 讲第九讲 二进制小数. 文档贡献者：winner_d1975我们曾经学了二进制以及八、十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的 二进制分数、小数，如何推广过来？一个二进制分数，就是 a ， a 是二进制整数，b 0 也是二进制整b数。一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0 n 1，n 0.b1b2b3bi，每个 bi 或为 0，或为 1（ bi 不全为 0，也不全为 1）。b1 所在的位称为 1 分位；2b2： 122b3： 123分位； 分位； 1102bi： 1 分位。（类似于十进制小数 0.a1a2a3,a1 为 12i 10分位，）分位，a2 为二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是 “逢二进一”，“退一还二”十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介例 将（0.3）10 化为二进制小数（用（a）k 表示 k 进位数）这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数回忆十进制循 环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个 易用易记的公式十进制循环小数化分数一般公式：这些公式的推导过程如下，请体会思想方法其实公式中，当 s0 时，就是公式，复杂的公式是借用简单情况下的公式推来推出后包含在之中 对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式和相仿那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式 例 1 化 (0. 0 01)2为二进制分数，十进制分数。解：用公式（1） 1 1(0. 0 01)2= ( )2111 = ( )107 例 2 化 (0.0 71428 5)10与(0.0101)2为十进制分数。 714285 0 5 1 1解： (0.0 71428 5)10= =99999907 10=( )1014( (0.0101)2= 101 0 )1110 2= ( 5 )14 10 例 3 化 (0.100111011)2解：由公式（2）为二进制分数 100111011 1001(0.100111011)2 =111110000直接检验=100110010111110000= 1001100111111000现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为 S，好比列方程设未知数，而 10kSS 恰好消去了“烫手”的无限长的小数部分，推出“方程”S（10k1）= a a .a，立刻求解出 S。1 2 k这样的思想，在研究等比数列时也用到了以前讲过有限项数列 ：a1，a2，a3，ai，an所谓等比数列，即它每一项都是前一项 乘上一公共值 q，也即：a1，a2a1q，a3a2q，aiai1q，anan1q， 或 a1，a2a1q，a3a1q2，aia1qi1，ana1qn1 现在要求出 a1a2a3aian思想方法：第一步：设 Sa1a2ana1a1qa1q2a1qn1 上式两边乘上 q，作为第二步： qSa1qa1q2a1qn1a1qn当 q1 时，用上式两边减下式两边，得到SqSa1a1qn，a a q n即有 S = 1 1 1 q公式（3）称为公比小于 1 的等比级数前 n 项求和公式它叙述为：前 n 项和等于首项与首项乘公比的 n 次幂的差除以 1 与公比之差 S = 1 1类似地可推导出：当 q1 时， a qn a （q1）。q 1例 4 1 1 1 1 1 1 1 1 17 7= 1 17 142 12814 1562 28 2 1 =S11256 2用公式（3）， q= 1 ，a1= 1 ,n=5.2 751 1 ( 1 )5 S= 7 2 = 2(2 1) = 311 127 25112最后以一个很精彩的例来结束本节（本例选自美国 1993 年第四十四届高中数学竞赛第 30 题虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此 题）例 5 x0 是任意取定的数，满足 0x01，对于所有的自然数 n，xn 由下述递推的关系式确定：求使得 x0x5 的 x0 的个数分析 所谓递推关系式，就是一旦给定了一个初始值 x0，例如取x0 4 ，就可由 x0 推算出 x1= 1 ；由 x1 得 x1= 2 ，直到任意的 xn。（ 当7 7 7x0 4 ，2x0 8 1，由规定，2x01，x1=2x01 8 1= 1 ，7 7 7 72x1= 2 1，x2= 2 。7 7再由 x2 推 x3。同样2x2= 4 1，x3= 4 。7 7总之，后项取决于前项的 2 倍值，当前项 2 倍值大于 1 时，就取 该值；不小于 1 时（决不会超过 2）就取它与 1 的差值）如果我们设 x0 是一个二进制小数，即设 x0（0.d1d2d3）2，那 么2x0（10）2（0.d1d2d3）2（d1d2d3d4）2，即 2x0。只是把 x0 的二进制表示中的小数点向右移一位因此2x01 相当于 d10，2x01 相当于 d11；那么按递推关系式的规定 ，x1 变得特别简明：x1（0.d2d3d4d5）2因为如果 d10，即 2x01，则 x12x0（0.d2d3d4）2；如果d11，即 2x01，则 x12x01（1.d2d3d4）21（0.d2d3d4）2，同样的规律，在由 xi 求 xi1 时也成立，i1，2，即 x2（0.d3d4d5d6）2；x3（0.d4d5d6）2； x4（0.d5d6d7）2；x5（0.d6d7d8）2；按条件应有 x0x5，即：（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10）2（0.d6d7d8d9d10d11d12d13）2， 这相当于 x0 是循环节为 5 的二进制纯循环小数，即 x0 = (0. d 1 d2 d3d4 d 5 )2由于每一个 di 的值，只有 0，1 两种可能，所以：x0 有 2532 个可能值，它们依小到大排成： 0 = 0. 0 000 0 ， 0. 0 0001 ， 0. 0 0010 ， 0. 0 0011 ， ， 0.11110 ， 0.111111 =1。但别忘了题设限定 0x0a，x0 小于 1，而由公式（1）知循环 小数 0.111111 等于 1，所以真正符合要求的值有 31 个。习题九1请你写出把三进制循环小数化为分数的公式： (0. d 1 d2 .d k )3 = _； (0.x1 x2 .x3 d1 d2. d k ) 3 = _。2把下列十进制小数化二进制小数（0.1）10 （0.01）103把下面各循环小数化为分数，注意进制，并请把 4 个数由小 到大排序 (0.101)2 (0.101)3 (0.101)8 (0.101)104循环小数化十进制分数： (10.1101)2 ，(10.2 9 6)10 ， (1.7 3 2)85，求和： 33 + (1 )2 + 34 + (1 )3 + 35 + (1 )4 + (1 )53 3 3 36仿例 5，