苏教版必修5 简单的线性规划问题 学案.doc

3.3.3简单的线性规划问题1了解线性规划的意义2了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重点)3会利用线性规划求目标函数的最值(难点)基础初探教材整理线性规划的有关概念阅读教材p87p89，完成下列问题1可行域：约束条件所表示的平面区域2最优解：在约束条件下，使目标函数取得最大值、最小值的解3求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题1若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值和最小值分别为 【解析】可行域为直角三角形abc(如图)，由z2xy，得y2xz，由图象可知，当直线y2xz过点b(2,0)和点a(1,0)时，z分别取到最大值4和最小值2.【答案】4,22在约束条件下，目标函数z10xy的最优解是 【解析】作可行域如图，平移直线y10x可知，z10xy的最优解是(1,0)，(0，1)【答案】(1,0)，(0，1)小组合作型求线性目标函数的最值已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u3xy的最大值和最小值；(2)求函数zx2y的最大值和最小值【精彩点拨】【自主解答】(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示(1)由u3xy，得y3xu，得到斜率为3，在y轴上的截距为u，随u变化的一族平行线，由图可知，当直线经过可行域上的c点时，截距u最大，即u最小解方程组得c(2,3)，umin3(2)39.当直线经过可行域上的b点时，截距u最小，即u最大，解方程组得b(2,1)，umax3215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示(2)由zx2y，得yxz，得到斜率为，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行线由上图可知，当直线经过可行域上的a点时，截距z最小，即z最小，解方程组得a(2，3)，zmin22(3)8.当直线与直线x2y4重合时，截距z最大，即z最大，zmaxx2y4，zx2y的最大值是4，最小值是8.求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型：(1)目标函数zaxbyc，当b0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而增大.(2)目标函数zaxbyc，当b0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而减小.提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.再练一题1若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于 . 【导学号：92862090】【解析】作可行域如图，由图可知，当直线z2xy过点a时，z值最小由得点a，zmin2(1).【答案】线性规划的实际应用某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用a原料3吨，b原料2吨；生产每吨乙产品要用a原料1吨，b原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨，b原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润【精彩点拨】根据题目设出未知数，列出线性约束条件设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最大值【自主解答】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系a原料b原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z5x3y，作出可行域如图所示把z5x3y变形为yx得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线，由图可以看出，当直线yx经过可行域上的a点时，截距最大，即z最大解方程组得a的坐标为x3，y4，zmax533427.故可获得最大利润为27万元解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺；(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(3)求解解这个纯数学的线性规划问题；(4)作答就应用题提出的问题作出回答.再练一题2某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移由此可知z2.5x4y在b(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求探究共研型求非线性目标函数的最值探究1设p(x，y)是可行域内的任意一点，则目标函数z的几何意义是什么？z呢？【提示】z表示可行域内的点(x，y)与点(b，a)连线的斜率，z表示可行域内的点(0,0)与点(x，y)连线的斜率探究2设p(x，y)是可行域内的任意一点，则目标函数z(xa)2(yb)2的几何意义是什么？z呢？【提示】z(xa)2(yb)2表示可行域内的点(x，y)与(a，b)间的距离的平方的最值，z表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离已知实数x，y满足不等式(1)求的取值范围；(2)求的取值范围【精彩点拨】(1)表示的是可行域内的点与(1,1)点连线的斜率(2)表示的是可行域内的点与(2,2)点的距离【自主解答】(1)先作出可行域(如图)，目标函数表示的是可行域中p(x，y)与m(1,1)连线的斜率，由图形易求得kma.当p在可行域中很远很远的地方时，kmp有一种与直线xy0的斜率1相等的趋势，但是永远也取不到1，因此的取值范围为.(2)表示的是可行域中的点到(2,2)的距离，而(2,2)又在可行域中，且恰为直线xy0与2xy20的交点，因此min0，无最大值故的取值范围是0，)非线性目标函数最值问题的求解方法1非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果2常见代数式的几何意义主要有：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键再练一题3已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围. 【导学号：92862091】【解】(1)作出可行域如图所示，a(1,3)，b(3,1)，c(7,9)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点m(0,5)的距离的平方，过m作ac的垂线，易知垂足在ac上，故mn，mn2，z的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点q连线斜率的2倍，kqa，kqb，z的取值范围是.1图337中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z6x8y，取得最大值的点的坐标是 图337【解析】由z6x8y，变形为yx，得到斜率为，在y轴上截距为，随z变化的一族平行直线，由题图可知，过(0,5)点时，z6x8y取最大值【答案】(0,5)2若变量x，y满足则x2y2的最大值是 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由得a(3，1)，由图易得(x2y2)max|oa|232(1)210.【答案】103若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是 【解析】画出可行域，如图所示由图可知，当目标函数过a点时有最大值；过b点时有最小值联立得方程组故a(4,4)；对xy8，令y0，则x8，故b(8,0)，所以a54416，b5088，则ab16(8)24.【答案】244某加工厂用某原料由甲车间加工出a产品，由乙车间加工出b产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克a产品，每千克a产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克b产品，每千克b产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (1)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱；(2)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱；(3)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱；(4)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z280x200y.画出可行域如图所示点m(15,55)为直线xy70和直线10x6y480的交点，由图象知在点m(15,55)处z取得最大值【答案】(2)5已知x，y满足条件求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值【解】(1)不等式组表示的公共区域如图阴影所示：其中a(4,1)，b(1，6)，c(3,2)，设z4x3y.直线4x3y0经过原点(0,0)作一族与4x3y0平行