苏教版选修12 直接证明知识导航 学案.doc

2.2.1 直接证明知识梳理1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为_（direct proof).2.从已知条件出发，以已知的_ 为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法.3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为_.知识导学 综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用p表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用p表示已知条件，q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为疑难突破1.综合法与分析法的异同点： 综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法. 综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述.2.证明与推理之间的联系和区别.（1）联系：证明过程其实就是推理的过程. 就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理.（2）区别：（）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提.（）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的.典题精讲【例1】 已知a、b、cr+,且a+b+c=1,求证：（-1)(-1)(-1)8.思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.证明：(方法1 综合法）（-1)（-1)（-1)=（)（-1)（-1)=8当且仅当a=b=c时取等号，所以不等式成立.（方法2 分析法）：要证（-1)（-1)（-1)8成立只需证8成立因为a+b+c=1,所以只需证8成立即：8只需证8成立而8显然成立.（-1)(-1)(-1）8成立.绿色通道：综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到特征的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意基本不等式应用的条件及等号成立的条件.【变式训练】 已知a、b、cr+,求证：（ab+a+b+1)(ab+bc+bc+c2)16abc.证明：综合法：方法1ab+a+b+1=(a+1)(b+1).ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)又a0,b0,c0,a+10,b+10,a+c0,b+c.(a+c)(b+c),(a+1)(b+1)0.因此当a,b,cr+时，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc,结论得证方法2分析法：要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc成立，只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)16ab成立.由于a0,b0,c0.a+1,b+1.a+c b+c(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)=16abc.即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc成立.【例2】 在abc中，三个内角a、b、c对应的边分别为a、b、c,且a、b、c成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：abc为等边三角形.思路分析：将a、b、c成等差数列，转化为符号语言就是2b=a+c；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.a、b、c为abc的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是a+b+c=,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由a、b、c成等差数列，所以有2b=a+c，因为a、b、c为abc的内角，所以a+b+c=,所以b=.由a、b、c成等比数列，有b2=ac.由余弦定理及b2=ac,可得：b2=a2+c2-2accosb=a2+c2-ac.a2+c2-ac=ac 即(a-c)2=0,因此a=c,从而有a=c.a=b=c=,所以abc为正三角形.【变式训练】 如图2-2-1所示，设在四面体p-abc中，abc=90,pa=pb=pc,d是ac的中点，求证：pd垂直于abc所在的平面.图2-2-1证明：因为bd是rtabc斜边上的中线，所以da=dc=db,又因为pa=pb=pc,而pd是pad,pbd,pcd的公共边，所以padpbdpcd.于是，pad=pbd=pcd,而pda=pdc=90,因此，pdb=90.可见pdac和pdbd.由此可知pd垂直于abc所在平面.【例3】 设a、b、c为一个三角形的三边，s=（a+b+c)且s2=2ab,试证：s2a.思路分析：题目中条件与结论之间的关系不明显，因此可以先结合条件把结论适当的转化.结合条件s=（a+b+c),可把结论s2a转化为（a+b+c)2a,即证b+c3a,我们结合条件s2=2ab，把结论s2a转化为s,即bs.再结合条件s=（a+b+c),把结论进一步转化为2ba+b+c,即ba+c从而得到证明.证明：要证s2a，由于s2=2ab,所以只需证s,即bs,因为s=（a+b+c),所以只需证2ba+b+c,即ba+c.由于a、b、c为一个三角形的三边，所以上式显然成立.于是原命题成立.绿色通道：利用分析法证明本题要注意挖掘其中的隐含条件，由结论适当转化.在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.【变式训练】 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.证明：设圆和正方形的周长即为l，依题意，圆的面积为,正方形的面积为因此只需证明.两边同乘以得：,因此只需有4,因为4显然成立.所以，,即问题得证.【例4】(2006年全国高考卷,20)如图2-2-2所示，在直三棱柱abc-a1b1c1中，ab=bc，d、e分别为bb1，ac1的中点.（1）证明：ed为异面直线bb1与ac1的公垂线；（2）设aa1=ac=ab，图2-2-2求：二面角a1-ad-c1的大小.思路分析：本题以直三棱柱为载体，考查异面直线的公垂线的定义及二面角的求法.充分考查了证明的几种方法，在问题中的综合运用能力，会用综合法和分析法来解决问题.解法1：（1）设o为ac中点，连结eo，bo，则eoc1c，又c1cb1beodb.eobd为平行四边形，edob.ab=bc,boac,又平面abc平面acc1a1，bo面abc，故bo面acc1a1ed平面acc1a1，edac1，edcc1.edbb1ed为异面直线ac1与bb1的公垂线.（2）连结a1e，由aa1=ac=ab可知，a1acc1为正方形，a1eac1，又由ed面a1acc1和ed平面adc1知，平面adc1平面a1acc1，a1e平面adc1.作efad，垂足为f，连结a1f，则a1fad，a1fe为二面角a1-ad-c1的平面角.则ac=2，ab=，ed=ob=1，ef=，tana1fe=.a1fe=60.所以二面角a1-ad-c1为60.解法2：（1）如图，建立直角坐标系o-xyz，其中o为ac的中点.设a（a,0,0),b(0,b,0),b1(0,b,2c),则c(-a,0,0),c1(-a,0,2c),e(0,0,c),d(0,b,c).=(0,b,0), =(0,0,2c), =0,edbb1,同理可证edac1所以ed是异面直线bb1与ac1的公垂线.（2）不妨设a（1，0，0），则b（0，1，0），c（-1，0，0），a1（1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，1，0）=（0，0，2），=0, =0,即bcab，bcaa1，又abaa1=a，bc面a1ad.e(0,0,1),d(0,1,1),c(-1,0,0), =(-1,0,-1), =(-1,0,1), =(0,1,0),=0, =0即ecae，eced，又aeed=e，ec面c1ad.cos=即得和的夹角为60.所以二面角a1-ad-c1为60.绿色通道：本题主要考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定及二面角平面角的求法.方法一为传统解法，方法2为向量解法.两种方法各有千秋，充分体现了思维的灵活性.黑色陷阱:在解决此类问题时，要注意计算方法的灵活性，特别是向量解法，应注意各点的坐标.【变式训练】(2005年北京高考卷，20)在直三棱柱abc-a1b1c1中，ac=3，bc=4，ab=5，aa1=4，点d是ab的中点，如图2-2-3所示.（1）求证：acbc1；（2）求证：ac1平面cdb1；（3）求异面直线ac1与b1c所成角的余弦值.图2-2-3解：解法1直三棱柱abc-a1b1c1底面三边长ac=3,bc=4,ab=5.acbc.bc1在平面abc内的射影为bc,acbc1,(2)设cb1与c1b的交点为e，连结de.d是ab的中点，e是bc1的中点，deac1,de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.（3）deac1,ced为ac1与b1c所成的角.在ced中，ed=ac1=，cd=ab=,ce=cb1=.cosced=异面直线ac1与b1c所成角的余弦值为.解法2：直三棱柱abca1b1c1底面三边长ac=3，bc=4，ab=5，ac、bc，c1c两两垂直.如图所示，以c为坐标原点，直线ca、cb、cc1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0),a(3,0,0),c1(0,0,4),b(0,4,0),b1(0,4,4),d(,2,0)(1)=(-3,0,0), =(0,-4,4),=0，acbc1.(2)设cb1与c1b的交点为e，连结de，则e（0，2，2）=(-,0,2),=(-3,0,4),=,deac1.de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.(3)=(-3,0,4),=(0,4,4).cos,=.异面直线ac1与b1c所成角的余弦值为.问题探究问题1：设有比例式.由比例性质可得：=,.由此可得=-1.试指出这个推理的错误所在.导思：=是正确的.而得到结论=-1的错误原因是什么呢？探究：由题意令=t，且x、y、z0.x=t(y+z) y=t(z+x),z=t(x+y)x+y+z=t(y+z)+t(z+x)+t(x+y)=t(2x+2y+2z)=2t(x+y+z).x+y+z0 t=.由比例式的性质=是正确的.而x-y=t(y+z)-t(z+x)=t(y+z)-(z+x)=t(y-x)若x-y0,t=-1.此题错误的关键在于没有考虑x=y的情况.所以这个推理错误的关键是题目中没有告诉x、y、z是否完全相等，若x=y=z，则第二个关系式是错误的. 由此题可以看出，在证明问题的过程中，证明要严谨，思考要缜密，做到无懈可击，无可置疑.问题2：在abc中，bc、ac边上的中线所在的直线ad与be相交于点h.求证：ab边上的中线所在的直线也通过点h.证明：因为任何三角形的三条中线所在的直线相交于一点，所以ab边上的中线所在的直线一定通过点h.上述命题的证明正确吗？如果不正确，请说出错