高考必考题突破讲座(二)导数及其应用.docx

高考必考题突破讲座(一)导数及其应用解密考纲导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有1已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)设函数F(x)f(x)g(x)，若函数F(x)的零点有且只有一个，求实数a的值解析(1)f(x)ln x1，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增当0t0)，h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，h(x)minh(1)3，由题意可知，若使yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点，则ah(x)min3.综上，若函数F(x)的零点有且只有一个，则实数a3.2已知函数f(x)xeaxln xe，(aR)(1)当a1时，求函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)ln xe，若函数h(x)f(x)g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围解析(1)a1，f(x)xexln xe，f(x)(x1)ex，f(1)0，f(1)2e1f(x)在点(1,0)处的切线方程为y(2e1)(x1)(2)h(x)f(x)g(x)xeax在定义域(0，)上存在两个零点，即x2eax10在(0，)上有两个实数根令(x)x2eax1，则(x)ax2eax2xeaxxeax(ax2)，当a0时，(x)xeax(ax2)0，y(x)在(0，)上单调递增，y(x)在(0，)至多一个零点，不合题意当a0即可，得a2，又a0，a0.3(2018安徽合肥高三调研)已知函数f(x)ax2bx在x处取得极小值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线yf(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围解析(1)由题意得，f(x)2ax2b.函数f(x)ax3bx在x处取得极小值，即解得则函数f(x)的解析式为f(x)2x33x.(2)设切点坐标为(x0,2x3x0)，则曲线yf(x)的切线的斜率kf(x0)6x3，切线方程为y(2x3x0)(6x3)(xx0)，代入点M(1，m)，得m4x6x3，依题意，方程m4x6x3有三个不同的实根令g(x)4x36x23，则g(x)12x212x12x(x1)，当x(，0)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.故g(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减g(x)极小值g(0)3，g(x)极大值g(1)1当3m1时，g(x)4x36x23的图象与直线ym有三个不同的交点，当3m1时，存在这样的三条切线故实数m的取值范围是(3，1)4已知函数f(x)ln xax2(aR)(1)当a0在(0，)上恒成立，求实数a的取值范围解析(1)由题知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，由f(x)0得0x；由f(x)0得x，则当a0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)xf(x)f(x)0在(0，)上恒成立，x(1n xax2)0在(0，)上恒成立，即a在(0，)上恒成立. 设h(x)(x0) ，则h(x)，由h(x)0得0xe；由h(x)0得xe，故函数h(x)在上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh，a ，即实数a的取值范围为. 5已知函数f(x)axln xb(a，b为实数)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1(1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)，证明：g(x1)g(x2)(x12.解析(1)由题得，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(1ln x)，因为曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，所以解得a1，b0.令f(x)1ln x0，得x.当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)在区间上单调递增所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由(1)得，g(x)ln x.由g(x1)g(x2)(x10.要证x1x22，需证(x1x2)2ln，即证2ln，设t(t1)，则要证2ln，等价于证：t2ln t(t1)令u(t)t2ln t，则u(t)120，u(t)在区间(1，)上单调递增，u(t)u(1)0，即t2ln t，故x1x22.6已知函数f(x)x2xaln x(a0)(1)若a1，求f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)解析(1)a1时，f(x)x2xlnx，f(x)x1，f(1)1，f(1)，yx1，即yx.f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为2x2y30.(2)f(x)x1(a0)若a，则x2xa0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增若0a0得0x；由x2xa0得x.f(x)在上单调递减，在和上单调递增综上，当a时，f(x)在(0，)上单调递增；当0a时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增(3)由(2)知0a时，f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1，x2是方程x2xa0的两