第2章 2.2.1直接证明.docx

2.2.1直接证明学习目标1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.知识点一综合法阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x，y满足xy1，求证：2x2y2.证明：因为xy1，所以2x2y222，故2x2y2成立.思考1本题的条件和结论分别是什么？答条件：xy1，结论：2x2y2.思考2本题的证明顺序是什么？答从已知条件利用基本不等式到待证结论.1.综合法的定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.2.推证过程：.知识点二分析法证明不等式：22成立.可用下面的方法进行.要证明：22，由于20,20.只需证明(2)2(2)2，展开得114114，只需证明67，显然67成立，22成立.思考上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？答从结论开始，逐步寻求结论成立的充分条件，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，执果索因.1.分析法的定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.2.推证过程：.类型一综合法例1在abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：abc为等边三角形.证明由于a，b，c成等差数列，有2bac.由于a，b，c为abc的三个内角，所以abc.由，得b.由a，b，c成等比数列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以ac.由，得abc，所以abc为等边三角形.反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.跟踪训练1在abc中，证明：bc.证明在abc中，由正弦定理及已知条件得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0，因为bclg alg blg c.证明要证lg lg lg lg alg blg c，只需证lg()lg(abc)，只需证abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以0，0，0，且上述三式中等号不能同时成立.所以abc成立，所以原不等式成立.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.跟踪训练2求证：(a3).证明方法一要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a322a32，只需证，只需证02，而02显然成立，所以 ，所以，所以.类型三综合法和分析法的综合应用例3求证：当x0时，sin xx.证明要证x0时，sin xx，只需证x0时，sin xx0即可.设f(x)sin xx，则即证x0时，f(x)f(0)0.即证x0时，f(x)的最大值小于或等于0.f(x)sin xx，f(x)cos x1，当x0时，f(x)0，f(x)在0，)上单调递减，当x0时，f(x)maxf(0)0，sin xx0成立，原不等式成立.反思与感悟在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.跟踪训练3设a、b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2b2)x24abx2ab0没有实数根.证明要证(a2b2)x24abx2ab0没有实数根，只需证0，(ab)20，8ab(ab)20，该一元二次方程没有实数根.1.命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”应用了_证明.答案综合法解析证明过程是从条件出发，利用公式，由演绎推理得到要证明的结论，是综合法.2.已知a，b是不相等的正数，x，y，则x，y的大小关系是_.答案xx2.3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到a为钝角的结论，三边a、b、c应满足的条件为_.答案b2c2a2解析要证a为钝角，只需证cos a0即可，也就是b2c2a2.4.已知数列an的前n项和sn3an2(n1,2，)，求证：数列an是等比数列.证明因为sn3an2(n1,2，)，sn13an12(n2,3，)，所以当n2，nn*时，ansnsn13an3an1，整理，得anan1(n2，nn*).又因为sn3an2，令n1，得a13a12，解得a11.所以an是首项为1，公比为的等比数列.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、填空题1.下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法，其中正确的语句有_.答案解析由分析法，综合法的定义知正确.2.如果abab，则实数a，b满足的条件是_.答案不相等的正数解析ababa()b()()(ab)()2()0a，b是不相等的正数.3.a、b为abc的内角，ab是sin asin b的_条件.答案充要解析由正弦定理，又a、b为三角形的内角，sin a0，sin b0，sin asin b2rsin a2rsin babab.4.已知a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是_(只填序号).abac；c(ba)0；cb2ab2；ac(ac)0.答案解析abac(不等式的可乘性)，故成立.当b0时，不成立.5.已知f(x)()x，实数a，br，af()，bf()，cf()，则a，b，c大小关系是_.答案acb解析，且f(x)是减函数，则abc.6.已知a、b、x、yr且，xy，则与的大小关系为_.答案解析要知与的大小，只需看x(yb)与y(xa)的大小.即xb与ya大小，而，xy且x、y、a、br，ab，yx，xbay，.7.已知x0，y0，且1，则xy的最大值为_.答案3解析12 .xy3，当且仅当x，y2时等号成立.8.已知f(x)是奇函数，那么实数a的值等于_.答案1解析函数的定义域为r，函数为奇函数，则当x0时，f(0)0，即0.a1.也可根据奇函数的定义f(x)f(x)恒成立.即，即恒成立.即2aa2x12x12，a1.9.在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，当底面四边形abcd满足条件_时，有a1cb1d1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).答案abcd为正方形(abcd为菱形，或acbd等)解析只要使bd平面aa1c1c即可.10.已知、为实数，给出下列三个判断： 0；|5；|2，|2，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是_.答案解析由0知、同号，由知|45.二、解答题11.已知abc的三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos 2b8cos b50，求证：abc为正三角形.证明2cos 2b8cos b50，4cos2b8cos b30，cos b或cos b(舍去).又b(0，180)，b60.a，b，c成等差数列，2bac，cos b，ac，又b60，abc为正三角形.12.若1x1，1y1，求证：()21.证明要证明()21，只需证明(xy)2(1xy)2，即x2y22xy12xyx2y2，只需证明x2y21x2y20，只需证明(y21)(1x2)0.(*)因为1x1，1y1，所以x21，y21.从而(*)式显然成立，所以()20时，欲证原不等式成立，只需证(acbd)2(a2b2)(c2d2).即证a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2.即证2abcdb2c2a2d2，即证0(bcad)2.因为a，b，c，dr，所以上式恒成立.故原不