2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十三余弦定理正弦定理应用举例--距离问题新人教A版必修.doc

教学资料范本2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十三余弦定理正弦定理应用举例-距离问题新人教A版必修编 辑：_时 间：_课时素养评价 十三余弦定理、正弦定理应用举例距离问题(25分钟50分)一、选择题(每小题4分.共16分)1.(20xx诸暨高一检测)如图所示.设A.B两点在河的两岸.一测量者在A的同侧.在所在的河岸边选定一点C.测得AC的距离为50 m.ACB=45.CAB=105.则A.B两点间的距离为()A.50 mB.50 mC.25 mD. m【解析】选A.由题意知.在ABC中.AC=50 m.ACB=45.CAB=105.所以CBA=180-45-105=30.所以由正弦定理可得.AB=50(m).2.(20xx苏州高一检测) 某人从A处出发.沿北偏东60行走3 km到B处.再沿正东方向行走2 km到C处.则A.C两地距离为()A.4 kmB.6 kmC.7 kmD.9 km【解析】选C.如图所示.由题意可知AB=3.BC=2.ABC=150.由余弦定理得AC2=27+4-232cos 150=49.所以AC=7.所以A.C两地距离为7 km.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动.离台风中心30千米内的地区为危险区.城市B在A的正东40千米处.B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设t小时后.B市恰好处于危险区内.则由余弦定理得：(20t)2+402-220t40cos 45=302.化简得：4t2-8t+7=0.所以t1+t2=2.t1t2=.从而|t1-t2|=1.4.如图.某炮兵阵地位于A点.两观察所分别位于C.D两点.已知ACD为正三角形.且DC= km.当目标出现在B点时.测得CDB=45.BCD=75.则炮兵阵地与目标的距离是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km【解析】选C.CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中由正弦定理得BD=.在ABD中.ADB=45+60=105.由余弦定理.得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2.所以AB=2.9(km).答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.二、填空题(每小题4分.共8分)5.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题.20xx年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象.不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示.没有完全断开).树干与地面成75角.折断部分与地面成45角.树干底部与树尖着地处相距10米.则大树原来的高度是_米(结果保留根号).【解析】如图所示.设树干底部为O.树尖着地处为B.折断点为A.则AOB=75.ABO=45.所以OAB=60.由正弦定理知.=.所以OA=米.AB=米.所以OA+AB=米.答案：(5+5)6.(20xx宁德高二检测)一艘船以每小时20 km的速度向东行驶.船在A处看到一灯塔B在北偏东60.行驶2 h后.船到达C处.看到这个灯塔在北偏东15.这时船与灯塔的距离为_km.【解析】由题意知.ABC中.AC=202=40.BAC=30.B=180-30-(90+15)=45.由正弦定理得.BC=20(km).所以船与灯塔的距离为20 km.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B.在货轮北偏东75.距离为12 n mile；在A处看灯塔C.在货轮的北偏西30.距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B.在货轮南偏东60.求：(1)A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意.画出示意图.如图所示.(1)在ABD中.由已知ADB=60.DAB=75.则B=45.由正弦定理.得AD=24(n mile).答：A处与D处之间距离为24 n mile.(2)在ADC中.由余弦定理.得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8)2-2248=(8)2.所以CD=8(n mile).答：灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.【加练固】 如图所示.若小河两岸平行.为了知道河对岸两棵树C.D(CD与河岸平行)之间的距离.选取岸边两点A.B(AB与河岸平行).测得数据：AB=6 m.ABD=60.DBC=90.DAB=75.试求C.D间的距离.【解析】ABC=ABD+DBC=60+90=150.所以C=180-150=30.ADB=180-75-60=45.ABD中.由正弦定理得AD=3.由余弦定理得BD=3+3.在RtBDC中.CD=6+6.即CD的长为(6+6) m.8.(14分)(20xx眉山高一检测)如图.某海轮以30海里/小时的速度航行.在A点测得海面上油井P在南偏东60.向北航行40分钟后到达B点.测得油井P在南偏东30.海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点.求P.C间的距离.【解析】在ABP中.AB=30=20.APB=30.BAP=120.由正弦定理得BP=20.在BPC中.BC=30=40.由已知PBC=90.所以PC=20(海里).答：P.C间的距离为20海里.(15分钟30分)1.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m.吊杆AC=15 m.吊索AB=5 m.起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中.AC=15 m.AB=5 m.BC=10 m.由余弦定理得cos ACB=-.所以sin ACB=.又ACB+ACD=180.所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中.AD=ACsin ACD=15= (m).2.(4分)甲船在岛B的正南A处.AB=10 km.甲船以4 km/h的速度向正北航行.同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去.当甲.乙两船相距最近时.它们的航行时间是()A. minB. hC.21.5 minD.2.15 h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图.设两船航行t小时后.甲船位于C点.乙船位于D点.如图.则BC=10-4t.BD=6t.CBD=120.根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100.所以当t=时.CD2取得最小值.即两船间的距离最近.所以此时它们的航行时间是 min.3.(4分)如图.为了测量A.C两点间的距离.选取同一平面上B.D两点.测出四边形ABCD各边的长度：AB=5.BC=8.CD=3.DA=5.A.B.C.D四点共圆.则AC的长为_.【解析】因为A.B.C.D四点共圆.所以D+B=.在ABC和ADC中由余弦定理可得82+52-285cos(-D) =32+52-235cos D.整理得cos D=-.代入得AC2=32+52-235=49.故AC=7.答案：74.(4分)如图.要计算西湖岸边两景点B与C的距离.由于地形的限制.需要在岸上选取A和D两点.现测得ADCD.AD=10 km.AB=14 km.BDA=60.BCD=135.则两景点B与C的距离为_(精确到0.1 km).参考数据：1.414.1.732.2.236.【解析】在ABD中.设BD=x km.则BA2=BD2+AD2-2BDADcos BDA.即142=x2+102-210xcos 60.整理得.x2-10x-96=0.解得.x1=16.x2=-6(舍去).故BD=16 km.又因为BDA=60.ADCD.所以CDB=30.由正弦定理.得：=.所以BC=sin 30=811.3(km).所以两景点B与C的距离约为11.3 km.答案：11.3 km5.(14分)(20xx怀化高二检测) 轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上.在轮船A出发时.轮船B位于港口C北偏西 30且与C相距20海里的P处.并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶.假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶.经过t小时与轮船B相遇.若使相遇时轮船A航距最短.则轮船A的航行速度应为多少？【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里.则 S=.所以当t=时.Smin=10.v=30.答：轮船A以30海里/小时的速度航行.相遇时轮船A航距最短.1.如图.一条河的两岸平行.河的宽度d=0.6 km.一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km.水的流速为2 km/h.若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min.则客船在静水中的速度v为()A.8 km/hB.6 km/hC.2 km/hD.10 km/h【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为.客船在静水中的速度为v km/h.由题意知.sin =.从而cos =.所以由余弦定理得=+12-221.解得v=6(km/h).2.如图所示.港口B在港口O正东方向120海里处.小岛C在港口O北偏东60方向.且在港口B北偏西30方向上.一艘科学考察船从港口O出发.沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度行驶.一艘快艇从港口B出发.以60海里/时的速度驶向小岛C.在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发.补给物资的装船时间为1小时.则快艇驶离港口B后.最少要经过多少小时才能和考察船相遇？【解析】设快艇驶离港口B后.经过x小时.在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示.连接CD.则快艇沿线段BC.CD航行.在OBC中由题意易得BOC=30.CBO=60.所以OCB=90.因为BO=120.所以BC=60.OC=60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时.所以x1.在OCD中.由题意易得COD=30.OD=20x.CD=60(x-2).由余弦定理.得CD2=OD2+OC2-2ODOCcosCOD.所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-220x60cos 30.解得x=3或x=.因为x1.所以x=3.所以快艇驶离港口B后.至少要经过3小时才能和考察船相遇.【加练固】 如图所示.海中小岛A周围38n mile内有暗礁.一船正向南航行.在B处测得小岛A在船的南偏东30.航行30n mile后.在C处测得小岛在船的南偏东45.如果此船不改变航向.继续向南航行.有无触礁的危险？【解题指南】船继续向南航行.有无触礁的危险.取决于A到直线BC的距离与38n mile的大小.于是我们