人教A版选修22 第三章数系的扩充与复数的引入 教案1.doc

教学设计第三章数系的扩充与复数的引入复习课教材分析复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅使学生对数的概念有一个初步的完整的认识，也为进一步的学习打下基础通过前几节课的学习，同学们对复数的基本概念，基本运算法则，以及复数的几何意义等几个不同的方面有了了解，本节的复习将使学生在问题情景中进一步了解数系扩充的过程和引入复数的必要性，以及用复数解决数学问题的基本方法，复数与以前学习的知识之间的联系与区别，加强对复数的理解，体会实际需要与数学内容的矛盾课时分配1课时教学目标知识与技能目标理解复数的概念以及复数相等的充要条件，熟练掌握复数代数形式的四则运算，了解复数及其加减运算的几何意义，复数模的概念及其应用过程与方法目标引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，培养学生数形结合，化归与转化的思想意识情感、态度与价值观通过对本章的复习，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于开拓进取的良好品质，从而形成全面且细致的思维习惯重点难点重点：复数的基本概念，复数的四则运算和复数相等的充要条件难点：复数的几何意义以及对复数的模的理解应用提出问题问题1：通过前面的学习，我们已经将数系由实数扩充到了复数，谁来将前面学习的有关复数的内容描述一下？活动设计：学生独立思考，5秒后找一位同学口答，其他同学可以补充活动成果：复数提出问题问题2：(1)计算_；(2)若mpi2p(1m)i，则m_，p_(m，pr)；(3)若复数z12i，则|z|_，复数z对应的向量_.活动设计：找一个学生到黑板上做，然后一起对答案活动成果：(1)i(2)(3)(1,2)设计意图通过问题1、2，从理论和实践两个方面回顾复数的基本内容 类型一：复数的基本概念例1设mr，复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数，则m_.(2)若z为纯虚数，则m_.思路分析：复数abi(a，br)包括实数(b0)和虚数(b0)，其中虚数中a0的数是纯虚数解：首先整理得：z(2m23m2)(m23m2)i.在(1)中z为实数，则m23m20，即m1或m2.在(2)中z为纯虚数，则2m23m20且m23m20，即m.点评：解决这类问题，首先把z化成“zabi”的形式，分清虚部和实部若题目条件中直接指明z为“虚数”，此时我们可设zabi(a，br)；若指明z是纯虚数，则可设zbi(br且b0)即可注意设复数的同时一定加入必需的条件巩固练习已知ar，复数z(a22a15)i，当a为何值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)z对应的点在直线y9上？答案：(1)5.(2)a5且a3.(3)0.(4)4或6.类型二：复数相等的充要条件例2已知集合a(m3)(n21)i，8，集合b3i，(m21)(n2)i，满足aba，ab，求整数m，n.思路分析：由aba，可知这两个集合有一个公共元素(m3)(n21)i或8，即(m3)(n21)i3i或8(m21)(n2)i，或(m3)(n21)i(m21)(n2)i.解：依题意，当(m3)(n21)i3i，即m30，n213.解得m3，n2.经检验m3，n2时，(m21)(n2)i8不合题意，舍去所以有m3，n2.当8(m21)(n2)i时，有m218，n20.可解得m3，n2.但m3，n2时，(m3)(n21)i3i不合题意，舍去所以有m3，n2.当(m3)(n21)i(m21)(n2)i时，有m3m21，n21n2，此时m，n无整数解，不合题意综合以上得m3，n2或m3，n2.点评：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时注意知识之间的相互联系，也要注意思维的广阔性和严谨性巩固练习已知集合m1,2，(a23a1)(a25a6)i，n1,3，mn3，则实数a_.答案：1类型三：复数的基本四则运算例3求值：(1)已知复数z与(z3)218i均是纯虚数，则z_.(2)已知z243i，则z38z_.思路分析：在(1)中可设zbi(br且b0)，将z代入(z3)218i中求得b的值在(2)中可由z243i求得z以后，再将z代入z38z中求值，也可化简z38z后再求值解：(1)设zbi(br且b0)，则(z3)218i(bi3)218i(9b2)(6b18)i.由(z3)218i为纯虚数，所以9b20且6b180，所以有b3，即z3i.(2)z38z.又由z243i，得z(i)，|2|z|2|43i|5，(i)原式等于i或i.点评：在解决复数计算问题时，应该先审清题意，尤其是对有条件的求值问题，先审清题意，然后找准切入点，逐步化简求值巩固练习()2 012.答案：1i.类型四：复数的几何意义例4已知复数|z1|z2|3，|z1z2|4，求|z1z2|的值思路分析：这里可以先把z1、z2、z1z2和z1、z2、z1z2两组复数对应的向量分别组成两个三角形，再借助余弦定理求解解：设z1对应向量，z2对应向量，则z1z2对应向量.cosaob.设z1z2对应向量，则.|z1z2|2|2|2|22|cosobc|z2|2|z1|22|z2|z1|cosaob20.|z1z2|2.点评：复数的几何意义体现在将复数问题转化为点或向量的问题，也就是将代数问题转化为几何问题，充分体现了数形结合的思想变式练习已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|的值(用代数和几何两种方式求解)答案：.拓展实例例5已知zm1mi(mr)，求|z|的最值思路分析：可以先将|z|整理出来转化为关于m的最值问题，还可以转化为几何问题，即z对应的点在哪里才能使z对应的点到原点的距离最大或最小的问题解：代数法：因为|z|，所以当m时，|z|min，但|z|无最大值几何法：如下图所示，设zxyi，则有xm1，ym，则xy10，所以z对应的点z在直线xy10上因为|z|的几何意义是表示z点到原点的距离，因此|z|就是xy10上的点与原点的距离，|z|的最小值就是原点到直线xy10的最短距离d，显然无最大值点评：充分运用复数的几何意义，将模的最值问题转化为距离的最值问题变式练习若复数z对应的点在(1)以原点为圆心，半径为1的圆上；(2)以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；(3)以(3,0)，(3,0)为焦点，以原点为对称中心，长轴长为10的椭圆上，分别写出满足上述条件的z的表达式答案：(1)|z|1；(2)|z(1i)|1；(3)|z3|z3|10.变练演编提出问题：(1)当|z11i|1时，可以提出什么问题？(2)当|z11i|1，zm1mi，mr时，可以提出什么问题？活动设计：学生可先独立探索，后互相交流学情预测：(1)例如：求|z13i|的范围几何方法：如图，由|z11i|1可知，z1所对应的点z在以c(1,1)为圆心，1为半径的圆c上，那么|z13i|就是点a(3,1)与圆c上的点z的连线的距离，所以|z13i|的最大值为|ac|13，最小值为|ac|11.所以|z13i|的范围为1,3代数方法：设z1abi，则|z11i|1可转化为(a1)2(b1)21，就可以得到|z13i|.因复数z1对应的点z(a，b)在圆(x1)2(y1)21上，故0a2.所以当a0时，|z13i|有最大值3；当a2时，|z13i|有最小值1.所以|z13i|的范围为1,3(2)例如：求|z1z|的最小值(答案：1)对于(1)或(2)的问题和答案可以很多，教师可以选有代表性的或有共性的例子拿来讨论设计意图加深对复数的代数和几何含义的理解，增强题目的趣味性，训练学生的发散思维，加深对前面知识的理解，考查学生的知识应用能力 达标检测1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限2设o是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()a55i b55i c55i d55i3(1i)2i等于()a22i b22i c2 d24复数(1)2的值是()a2i b2i c2 d2答案：1.d2.d3.d4.b学生独立思考后，概括对复数这一章节的认识，教师最后补充(1)深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示，对概念的理解上要善于利用数形结合的思想(2)掌握复数的分类，明确“复数问题实数化”是解决问题的最基本的思想方法，在解决复数问题时，充分利用复数的有关概念和复数相等的充要条件(3)代数形式的加、减、乘、除四则运算的运算法则类似于合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法的主要内容是分母实数化复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，要特别注意实数范围内的运算法则和性质是否在复数范围内实用补充练习中的2、3题基础练习1设复数z12i，z213i，则复数的虚部等于_答案：1.1拓展练习2已知ar，br,2ai和bi(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，那么p，q的值分别是多少？3若复数z满足|z3|，求|z(14i)|的最大值和最小值提示：2.根据韦达定理：x1x2p2aibi，所以有p2b且a10；x1x2q(2ai)(bi)(2ba)(ab2)i，所以有ab20，q2ba.由此可得p，q的值3可利用几何意义：因为满足条件|z3|的复数z对应的点z都在以a(3,0)为圆心，为半径的圆c内和圆c上，因此求|z(14i)|的最值可转化为求点a(1,4)到圆c内或圆c上哪个点的距离最大和最小的问题答案：2.p4，q5.3最大值为|ac|3，最小值|ac|.这一节课是复习课，在开始设计两个问题的目的是引领同学们复习基本知识点，形成这一章的知识网络，后又以典型例题为主，巩固或变式练习为辅，层层展开，步步深入，来复习这一章中涉及到的多个知识点，展现多种不同的题型以及各自的解答方式与解答规律因为是复习课，所以在复习基本题型的同时，也把复数问题进一步升华提高这样不但加深了同学们对知识的理解，也更好地提高同学们分析问题、解决问题的能力，进一步培养同学们数形结合，化归与转化的数学思想意识，培养学生思维的严谨性、灵活性和深刻性等良好的思维品质同时展示数学的内在规律，新旧知识之间的联系，展现复数无穷的魅力复数的起源与扩张16世纪意大利米兰学者卡当(jerome cardan15011576)在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”他第一个把负数的平方根写到公式中，并且在讨论是否能把10分成两部分，使它们的乘积等于40.他把答案写成40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来数系中发现一颗新星虚数，引起了数学界的一片困惑，很多大数学家不承认虚数德国数学家莱布尼兹(16461716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”法国数学家棣莫佛(16671754)在1730年发现著名的棣莫佛定理欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i来表示1的平方根，首创了i作为虚数的单位“虚数”实际上不是想象出来的，它是确实存在的挪威的成塞尔(17451818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视德国数学家阿甘得(17771855)在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示在平面直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点a，纵轴上取对应实数b的点b，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点c就表示复数abi.像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数abi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合，统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵！虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇