三次样条插值ppt.ppt

总结 三次样条插值函数的误差估计 三转角算法 三弯矩算法 三次样条插值函数的概念 三次样条插值 三次样条插值 学习目标 知道三次样条插值函数的概念 会求三次样条插值函数 进行误差分析 高次插值出现龙格现象 但分段线性插值在节点处不一定光滑 但导数值不容易提取 找到 举例 1汽车 船的外形设计 流体力学等要求流线型 光滑 2木样条的来源 三次样条插值函数的概念一 背景 数学里的样条 Spline 一词来源于它的直观几何背景 绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁 构成样条 固定在样点上 在其它地方让它自由弯曲 然后画下长条的曲线 称为样条曲线 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成 在连接点击样点上要求二阶导数连续 从数学上加以概括就得到数学样条这一概念 相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange 定义2 8 三次样条函数 多项式 即具有连续的一阶 二阶导数 满足下述条件 的一个3次样条函数 二 样条函数的定义 提出问题 如何计算 误差估计 问题的提法 给定数据表构造3次样条函数 满足插值条件 构造方法 S x 应具有如下形式并且满足条件 2 42 和 2 43 分析 4n个待定系数 从而S x 共须4n个独立条件确定 内部条件 S和S S 在n 1个内结点连续 即满足条件 2 43 因而 2 43 给出了3 n 1 个条件 2 43 已有条件 共有 个条件 要唯一确定 还必须附加2个条件 2 42 提供了n 1个独立条件 边界条件 附加2个条件 有多种给法 最常见的给法是 a 简支边界 导致三弯矩关系式 M关系式 特别地 自然边界 三次自然样条 b 固支边界 导致三转角关系式 m关系式 2 44 2 45 第3种边界条件 周期边界条件 为周期函数 此时称 为周期样条函数 这样 由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件 就能得出4n个方程 可以惟一确定4n个系数 从而得到三次样条插值函数S x 在各个子区间 xi xi 1 上的表达式S xi i 1 2 但是 这种做法当n较大时 计算工作很大 不便于实际应用 因此我们希望找到一种简单的构造方法 且 定理2 8 3次样条插值函数存在唯一 2 给定边界条件 则 于 存在 推导方法 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示 该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示 三次样条插值函数的二阶导数表示 三次样条插值函数可以有多种表达式 有时用二阶导数值表示时 使用更方便 在力学上解释为细梁在处的弯矩 并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关 故称用表示的算法为三弯矩算法 2 3 2三弯矩算法 由两点拉格朗日插值可表示为 对上式积分 得 再积分 得 由条件 确定积分常数 将上式代入 2 48 得到三次样条插值函数的表达式 由上讨论可知 只要确定Mj j 0 1 n 这n 1个值 就可定出三样条插值函数S x 为了确定Mj j 0 1 n 对S x 求导得 2 55 上式两边同乘以 即得方程 若记 2 56 所得方程可简写成 2 58 即 2 57 三弯矩方程 这是一个含有n 1个未知数 n 1个方程的线性方程组 要完全确定Mi i 0 1 n 的值还需要补充两个条件 这两个条件通常根据实际问题的需要 根据插值区间 a b 的两个端点处的边界条件来补充 由 2 53 得 由 2 54 得 则令j 0 令j n 2020 3 10 25 可编辑 2 若 已知 代入方程 2 58 只需解n 1个方程 3 对第三类边界条件 两边同除以 j n j n j 0 令 得 又由 三弯矩方程可写为 说明 1 方程组 2 59 2 61 系数矩阵都是严格对角占优矩阵 因此方程组 2 59 2 61有唯一解 2 Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩 且弯矩与相邻的两个弯矩有关 故方程组 2 59 2 61 称为三弯矩方程 Mj在数学上称为曲率 实际上 方程组 2 59 2 61 的系数矩阵是一类特殊的矩阵 在后面线性方程组的解法中 将专门介绍这类方程组的解法和性质 例2 14设在节点上 函数的值为 试求三次样条插值函数 满足条件 解 1 利用方程组 2 56 进行求解 可知 对第一类边界条件 代入三次样条插值函数的表达式 2 50 经化简有 仍用方程组进行求解 不过要注意的不同 由于和已知 故可以化简得 由此解得 将代入三次样条插值函数的表达式 2 50 经化简有 例2 15已知的函数值如下 x1245f x 1342 在区间 1 5 上求三次样条插值函数S x 使它满足边界条件 解 这是在第二种边界条件下的插值问题 故确定的方程组形如 2 60 所示 由已知边界条件 有则得求解的方程组为 根据给定数据和边界条件算出与 则得方程组 解得 又 即得S x 在各子区间上的表达式 由式 2 51 知 S x 在上的表达式为 代入式 2 50 将代入上式化简后得 同理S x 在上的表达式为 S x 在上的表达式为 故所求的三次样条插值函数S x 在区间上的表达式为 2 3 3三转角算法 根据Hermite插值函数的唯一性和表达式可设S x 在区间 xi xi 1 i 0 1 n 1 的表达式为 对S x 求二次导数得 于是有 同理 考虑S x 在 xi 1 xi 上的表达式 可以得到 利用条件 得 方程组 2 63 是关于的方程组 有个未知数 但只有个方程 可由 2 44 2 46 的任一种边界条件补充两个方程 由此可解得m1 m2 mn 1 从而得S x 的表达式 2 64 对于边界条件 2 45 两个方程则m1 m2 mn 1满足方程组 对于边界条件 2 44 可导出两个方程 2 65 若令 则 2 62 和 2 65 可合并成矩阵形式 2 66 可解出 从而得S x 的表达式 由 2 62 和 2 67 可解出 方程组