2019-2020学年大庆市铁人中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1若98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，则（ ）A53B54C58D60【答案】C【解析】由题意知，与63的最大公约数为7，又，选C点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数2与命题“若，则”等价的命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】分析：根据四种命题等价性关系判断.详解：原命题与其逆否命题等价，项是原命题的逆否命题，符合要求故选点睛： 与非非，与非非，与非非具有等价关系.3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】将代入曲线化简可得到式子.【详解】将代入曲线方程得到故答案为B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.4“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】设直角三角形的三条边长分别为,用表示出的关系,即可分别求出两个阴影部分的面积,即可根据几何概型概率的求法求得飞镖落在阴影区域概率.【详解】直角三角形的三条边长分别为则,则两个阴影部分的面积和为 所以飞镖落在阴影区域概率为故选:D【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,三角函数的化简求值,属于中档题.5袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）A“至少有一个黑球”和“没有黑球”B“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”【答案】C【解析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件;对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件;对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件.综上可知,C为正确选项故选:C【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题.6“”是“方程表示椭圆”的A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且，所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.7某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A73.3，75，72B72，75，73.3C75，72，73.3D75，73.3，72【答案】B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为 众数为最高矩形底边的中点,即中为数为: 可得所以中为数为 综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.8阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A-10B6C14D18【答案】B【解析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.【考点】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.9已知椭圆上有一点P，是椭圆的左右焦点，若为直角三角形，则这样的点P有（ ）个A3B4C6D8【答案】C【解析】试题分析：当为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点有2个；同理当当为直角时，这样的点有2个；当为直角时，由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，本题张角恰好为直角，这时这样的点也有2个，故符合条件的点有6个，选项C为正确答案【考点】1、椭圆的对称性；2、分类讨论的数学思想10已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得 的半焦距 相等，它们的渐近线方程相同，的焦点均在以原点为圆心，为半径的圆上，离心率不相等，故选D.11把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为ABCD【答案】B【解析】当平面与平面垂直时，棱锥的高最大，体积最大，解直角三角形可得结果.【详解】当平面与平面垂直时，棱锥的高最大，由于底面积为定值，所以其体积最大，设是中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，是直线和平面所成的角，因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的转化以及直线与平面所成的角，属于基础题.12已知抛物线：，直线及上一点，抛物线上有一动点P到的距离为，P到的距离为，则的最小值为（ ）A5B6C7D9【答案】C【解析】根据抛物线的定义,将P到的距离为转化为P到的距离,即可由三点共线时取得距离最小值,解得的最小值.【详解】抛物线,则其焦点坐标为,准线方程为设动点P到准线的距离为, P到焦点的距离为由抛物线定义可知则由题意可知抛物线上的动点P到的距离为则因为P到的距离为则当在同一条直线上时取得最小值此时即所以故选:C【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,抛物线中线段的最小值求法,属于基础题.二、填空题13某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是_【答案】40【解析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.14已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【答案】【解析】【详解】连接DE，设AD=2，易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，cosDAE=15下列说法中正确的个数是_.（1）命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”.（2）命题“，”的否定“，”.（3）若为假命题，则，均为假命题.（4）“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.【答案】1【解析】根据命题与逆否命题的定义可判断（1）;根据特称命题的否定即可判断（2）;由复合命题真假的关系可判断（3）;根据两条直线平行时的斜率关系可判断（4）.【详解】对于（1）,命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根,则”,所以（1）正确;对于（2）,命题“,”的否定“,”,所以（2）错误;对于（3）,若为假命题,则、中至少有一个为假命题,所以（3）错误;对于（4）,当时, 直线：与直线：,则且,所以是“”是“直线：与直线：平行”的充分条件;当“直线：与直线：平行”时,则,解得或,所以“”是“直线：与直线：平行”的充分不必要条件.所以（4）错误.综上可知,正确的为（1）故答案为:1【点睛】本题考查了命题与逆否命题的关系,特称命题的否定形式,复合命题真假的判断及充分必要条件的判断,属于基础题.16已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是_【答案】【解析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则由，可得故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题17在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C交于两点（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求【答案】（1）直线l的方程为yx+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】（）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解【详解】（）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为（）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18如表是某位同学连续5次周考的数学、物理的成绩，结果如下：周次12345数学（分）7981838587物理（分）7779798283参考公式：，表示样本均值（1）求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；（2）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程【答案】（1）数学成绩的平均分；物理成绩的方差（2）【解析】（1）根据平均数的定义及求法,代入即可求得该生5次月考数学成绩的平均分;先求得物理平均分,根据方差公式即可求得物理成绩的方差.（2）根据所给回归直线的方程公式,先求得及,即可求得,再代入公式求得,即可得线性回归方程.【详解】（1）（2）根据（1）中所得,及结合表中数据计算可得,所以回归系数为故所求的线性回归方程为【点睛】本题考查了平均数及方差的求法,线性回归方程的求法,属于基础题.19把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，试就方程组解答下列各题：（1）求方程组只有一个解的概率；（2）求方程组只有正数解的概率【答案】（1）（2）【解析】（1）先求得投掷骰子出现的所有情况总数.将方程组求解,根据方程组只有一个解时,未知数系数不为0,先求得系数为0的情况,根据对立事件的概率求法即可求得方程组只有一个解的概率.（2）根据正数解的要求解不等式组,即可求得的取值范围,结合总数情况即可得解.【详解】事件的基本事件有36个由方程组可得（1）方程组只有一个解,需满足 即 ,而 的事件有共3个所以方程组只有一个解的概率为（2）方程组只有正数解,需且即或其包含的事件有13个： 因此所求的概率为.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,方程组的解法及方程组解的要求,属于基础题.20已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5（1）求的方程；（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可【详解】法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知解得或,的方程为. 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得的方程为. 2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点设两点的坐标分别为,则 两式相减,整理得线段中点的纵坐标为直线的斜率直线的方程为即分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点设直线的方程为由消去,得设两点的坐标分别为,线段中点的纵坐标为解得直线的方程为即【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数21如图，在四棱柱中，点和分别为和的中点,侧棱底面.（1）求证：/平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意,以为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明与平面的法向量垂直,来证明/平面.（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系,分别求得平面的法向量与平面的法向量,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.【详解】（1）证明：根据题意,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立如下图所示的空间直角坐标系: 点和分别为和的中点, ,则,则,则所以依题意可知为平面的一个法向量而所以又因为直线平面所以平面（2）设为平面的法向量,则,即不妨设,可得设为平面的一个法向量,则,又,得不妨设,可得因此有,于是所以二面角的正弦值为【点睛】本题考查了利