2019-2020学年杭州市西湖区杭州学军中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高二上学期期末数学试题一、单选题1经过点，斜率为的直线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据直线的点斜式方程写出直线方程，再化成一般式方程即可.【详解】由直线点斜式得，化为一般式得.故选：D【点睛】本题考查了直线点斜式方程，属于基础题.2椭圆的焦距为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程求出的值，再利用之间的关系，求出，最后求出焦距即可.【详解】因为，得，所以焦距为.故选：C【点睛】本题考查了根据椭圆的标准方程求椭圆焦距问题，属于基础题.3已知直线，和平面，下列条件中能推出的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】根据面面平行的判定定理和线面垂直的性质直接判断即可.【详解】A：两个平面相交时，两个平面存在互相平行的直线，故本选项不正确；B：垂直于同一直线的两平面平行，故本选项正确；C：根据面面平行的判定定理可知中：只有当直线，相交时，才能得到面面平行，故本选项不正确；D：两个平面可以相交，故本选项不正确.故选：B【点睛】本题考查了面面平行的判定定理的应用，属于基础题.4圆和圆的位置关系是( )A内切B外切C相交D外离【答案】C【解析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出Rr和R+r的值，判断d与Rr及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系【详解】把圆x2+y22x0与圆x2+y2+4y0分别化为标准方程得：（x1）2+y21，x2+（y+2）24，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，2），半径分别为R2和r1，圆心之间的距离，则R+r3，Rr1，RrdR+r，两圆的位置关系是相交故选：C【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.5已知，是异面直线，是，外的一点，则下列结论中正确的是（ ）A过有且只有一条直线与，都垂直B过有且只有一条直线与，都平行C过有且只有一个平面与，都垂直D过有且只有一个平面与，都平行【答案】A【解析】根据垂线的唯一性、平行公理，线面垂直的性质、线面平行性质进行逐一判断即可.【详解】A：作的平行线与共面，若过的直线与，都垂直，则该直线垂直于，所以垂直于，所在平面因为过平面外一点只可作一条直线与这个平面垂直，所以过有且只有一条直线与，都垂直.故本结论正确；.B：如果过的直线都与，都平行，根据平行公理，平行这与，是异面直线矛盾，故本结论错误；C：如果，与过过的平面都垂直，那么，平行这与，是异面直线矛盾，故本结论错误；D：若过与或确定的平面，就不存在与，都平行，故本结论错误；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，考查了平行公理，考查了异面直线的性质，考查了线面垂直的性质，考查了推理论证能力.6如图，中，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为ABCD【答案】D【解析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cosCOB，求得tanCOB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到【详解】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB=，OC2=OB2+BC22OBBCcosB=1+4212（）=7，OC=，则cosCOB=，可得sinCOB=，tanCOB=，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为=1（a，b0），渐近线方程为y=x，可得=，可得e=故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题7直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若，则k的取值范围是()AB(，0，)CD【答案】A【解析】试题分析：圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，解不等式得k的取值范围【考点】直线与圆相交的弦长问题8正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是( )ABCD【答案】D【解析】将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，则可得到答案【详解】考虑相对运动，让四面体ABCD保持静止，平面绕着CD旋转，故其垂线也绕着CD旋转，如下图所示,取AD的中点F，连接EF，则 则也可等价于平面绕着EF旋转，在中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，显然则设BE与平面所成的角为，则可得 考虑四个选项，只有选D.【点睛】本题考查最小角定理的应用，线面角的最大值即为BE与CD所成的角.，属中档题.9已知，作直线，使得点到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】分别以为圆心，半径为作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和的大小关系，求得的取值范围.【详解】分别以为圆心，半径为作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，也即到四条切线的距离都等于，符合题目的要求.圆心距，由于两个圆外离，故，即.故选：B.【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.10（2018届浙江省温州市一模）如图，正四面体中，在棱上，且，分别记二面角的平面角为，在（ ）ABCD【答案】D【解析】是正四面体，在棱上，且，可得为钝角，为锐角，设的距离为的距离为的距离为的距离为，设正四面体的高为 ,可得，由余弦定理可得，由三角形面积相等可得到，所以可以推出所以，故选D.【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.二、填空题11若圆的圆心在直线上，则的值是_，半径为_.【答案】 【解析】对圆的方程进行配方化成标准方程形式，把圆心的坐标代入直线方程中，求出的值，最后求出半径的大小.【详解】圆化为标准方程为，圆心坐标为：，由题意可知：，所以，.故答案为：；【点睛】本题考查了通过圆的一般求圆心和半径，考查了数学运算能力.12若直线与互相平行，则的值为_，它们之间的距离为_.【答案】 【解析】根据两平行直线系数之间的关系求出的值，根据平行线间距离公式直接求出两平行线间距离即可.【详解】由题知，且，解得，则，则两平行线间距离为：.故答案为：；【点睛】本题考查了已知两直线平行求参数问题，考查了平行线间距离公式，考查了数学运算能力.13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，外接球的表面积为_.【答案】 【解析】根据根据三视图还原该几何体，直接根据三棱柱的体积公式求出体积，运用割补法求出外接球的表面积.【详解】根据三视图还原该几何体，直观图如图所示的直三棱柱，把该几何体补成一个长方体，可知其外接球的直径为这个长方体的体对角线，所以，所以故答案为：;【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积以及该几何体外接球的表面积，考查了直观想象能力.14已知双曲线与椭圆共焦点，则的值为_，设为双曲线的一个焦点，是上任意一点，则的取值范围是_.【答案】 【解析】第一空：根据双曲线的半焦距的平方等于椭圆的半焦距的平方，解方程即可求出的值；第二空：设，不妨设，求出的表达式，利用双曲线的范围求出的取值范围.【详解】解析、，所以；设，不妨设，所以因为或，所以，故填、；【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的半焦距公式，考查了双曲线的范围，考查了数学运算能力.15异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为_.【答案】【解析】将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.【详解】将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.故答案为：【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.16在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，且，过点分别作于点，于点，连结，当的面积最大时，_.【答案】【解析】利用平面，根据线面垂直的性质定理可得，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出平面，进而可以证明出，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明平面，因此可以证明出，最后利用线面垂直定理证明出平面，因此得到，且为中点.解法1：设，利用三角形面积公式可以求出的长，在利用，求出的长，最后求出的面积表达式，利用换元法和配方法求出面积平方的最大值，最后求出的值；解法2：设，求出、的大小，再求出的大小，最后求出表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出的值.【详解】因为平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，综上，且为中点.解法1：设，则，又，则，又，可得，所以，所以，令，则所以当时即，此时，故填.解法2.设，则，所以.又，所以，所以所以当且仅当即时，取等号.故答案为：【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.17已知椭圆上的三点，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为_. 【答案】【解析】设出直线的方程,将其代入到椭圆的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点的坐标,再将的坐标代入椭圆方程即可得到直线的斜率.【详解】如图所示:设 ,直线的方程为,因为原点是三角形的重心,所以与 的高之比为3,又与的面积之比为,则,即,所以,联立,消去并整理得,所以,由整理得,因为原点是的重心,所以,因为,所以,化简得,由可得,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了直线与椭圆相交的问题,三角形的重心坐标公式,韦达定理,运算求解能力,根据已知条件求出点的坐标后,再代入椭圆方程是解题关键,本题属于中档题.三、解答题18已知，且.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出的最大值；（2）对变形为：，然后运用基本不等式求解即可.【详解】解析、（1），（当且仅当时取等号，即当时），因此的最大值为10；（2），的最小值为，当且仅当时取到.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.19如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，当为的中点时，能使平面平面【解析】（1）利用已知可以判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到线线平行，利用线面平行的判定定理证明出平面；（2）根据为正三角形可以得到，再根据是等边三角形得到，这样根据线面垂直的判定定理可以证明平面，再利用线面垂直的性质定理可以证明出；（3）可以猜想为的中点时.根据已知侧面垂直于底面，可以通过面面垂直的性质定理可以得到平面.这样利用中位线可以证明出平面，这样证明出猜想是正确的.【详解】（1）由已知，所以四边形是平行四边形.又平面，平面，平面.（2）连接.，.是等边三角形，又，平面.（3）当为的中点时，能使平面平面.证明如下、平面平面，平面平面，平面，平面.连结交于.则是的中点，.平面.又平面，平面平面.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了数学探究能力，考查了推理论证能力.20如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为，直线与圆相交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点.（1）求圆的方程；（2）求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）依题意可设圆心，根据圆的性质可以得出，进而可以求出圆的标准方程；（2）解法1.依题意知，只需求出点（或）在劣弧上运动时的直线（或）斜率，设其直线方程为，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，可以求出的取值范围，根据点在劣弧上，点在劣弧上，求出直线的斜率，进而求出直线的斜率的取值范围，在讨论线的斜率为零时，是否满足，最后确定直线的斜率的取值范围；解法2.当时，直线的方程为，根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式，求出斜率的取值范围，再以代求出斜率的取值范围，接着讨论时，是否满足条件，最后确定斜率的取值范围.【详解】（1）依题意可设圆心.设圆与轴交于点，因为圆被轴分成的两段圆弧之比为，所以.于是，圆心.所以圆的方程为.（2）解法1.依题意知，只需求出点（或）在劣弧上运动时的直线（或）斜率，设其直线方程为，此时有，解得.若点在劣弧上，则直线的斜率，于是;若点在劣弧上，则直线的斜率，于是.又当时，点为，也满足条件综上所述，所求的直线的斜率的取值范围为或解法2.当时，直线的方程为，由题意得，解得.以代得，解得或.当时，也满足题意.综上所述，的取值范围是或【点睛】本题考查了圆的切线性质，考查了直线与圆的位置关系，考查了有斜率的两直线垂直时斜率的关系，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.21如图，在四棱锥中，且,，.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（I）证明见解析；（）【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直进行论证，而线面垂直证明，往往需要多次利用线线垂直与线面垂直的转化，而线线垂直，有时可利用平几条件进行寻找与论证，如本题取中点E，利用平几知识得到四边形是矩形，从而得到，而易得，因此，进而有平面平面；（2）利用空间向量求线面角，首先建立空间直角坐标系：以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，设出各点坐标，利用方程组解出面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结论试题解析：解：证明：（1）为中点,且四边形是矩形,又平面,且,在平面中,平面平面,又平面平面,平面平面.（2）以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，,则设平面的法向量,则,取,得,设直线与平面所成的角为,直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】面面垂直判定定理，利用空间向量求线面角【思想点睛】垂直、