2019-2020学年怀化市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省怀化市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：由于复数，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】对比抛物线的焦点在轴正半轴的标准方程，求解出焦点坐标为即可.【详解】因为，所以，所以，所以焦点坐标为.故选：D.【点睛】本题考查根据抛物线的标准方程求解抛物线的焦点坐标，难度较易.形如的抛物线方程的焦点坐标为，准线方程为；形如的抛物线方程的焦点坐标为，准线方程为.3已知命题，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：“修改量词，否定结论”，即可得到相应结果.【详解】原命题是全称命题，所以其否定为特称命题，的否定为，的否定为，所以原命题的否定为：.故选：A.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意在修改量词的同时否定结论.4已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）A B2C3D4【答案】C【解析】利用，将代入原式，即可得到关于的等式，并代入相关值即可计算出的值.【详解】因为，所以当时有且，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求值，难度较易.对任意数列以及前项和总有.5设椭圆方程为，左右焦点分别为，上顶点为，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意作出示意图，根据为等边三角形求解出之间的关系式，从而求解出椭圆的离心率.【详解】如图所示：因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解椭圆的离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若涉及到规则几何图形，注意借助几何图形的性质求解问题：如长度、角度之间的关系.6两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据等差、等比中项求解出的值，再根据双曲线的渐近线方程为即可求解出渐近线的方程.【详解】因为的等差中项是且一个等比中项是，所以且，所以，所以，所以渐近线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查根据数列与双曲线的综合应用求解渐近线方程，难度一般.求解双曲线的渐近线方程时，如果不记得对应的渐近线方程可通过令得到渐近线方程.7若，则以下命题为真的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】A举例：取的值，检验；B举例：，检验；C举例：取的值(注意大小)，检验；D考虑两边同时平方来证明.【详解】A取，所以，故错误；B取，所以，故错误；C取，所以，故错误；D因为，所以，所以，故正确.故选：D.【点睛】本题考查利用不等式的性质判断命题的真假，难度一般.(1)不等号两边同时乘以一个正数，不等号的方向不会改变；(2)已知两数的大小，比较两个数平方的大小时，要注意考虑数的正负.8“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将及都化成最简形式，分别是及，从而能得出结论.【详解】若，则，当，或时，由推不出；反之，若，则有，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充分条件必要条件考题，可以通过将两命题都化成最简形式，再利用“小范围可以推出大范围”的特点，可以得出结论.9已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）A32B31C30D29【答案】B【解析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为ABCD【答案】A【解析】由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得，进而得到的长度【详解】因为，所以|2=()2=|2+|2+|2)故A1C的长为故选A【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点11若两个正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.【详解】、，且，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，由题意可得，即，解得.因此，实数的取值范围是，故选：C.【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要注意对代数式进行配凑，考查运算求解能力，属于中等题.12已知函数f（x）=，g（x）=-ex-1-lnx+a对任意的x11，3，x21，3恒有f（x1）g（x2）成立，则a的范围是（）ABCD【答案】A【解析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】由题得在1，3上单调递增，所以由题得，所以函数g（x）在1,3上单调递减，所以，由题得所以.故选A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13曲线在点处的切线方程为_【答案】.【解析】先求解出曲线对应函数的导函数，然后计算出切点处导数值即为切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为，所以，所以，所以切线方程为：，即为.故答案为：.【点睛】本题考查曲线上某点处切线方程的求解，难度较易.求解曲线上某点处的切线方程的方法：(1)先求解出函数的导函数并求解出对应切点处的导数值即为切线斜率；(2)根据直线的点斜式方程写出直线的切线方程并化简整理.14若，且，则_【答案】.【解析】设，并计算出，根据以及复数相等的原则计算出的值，再根据即可求解出.【详解】设，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查复数的共轭复数、模长以及根据复数相等求解参数，难度一般.已知复数与复数相等，则有.15函数，如果不等式的解集为，那么_.【答案】【解析】先求解的根,分别讨论,的情况,根据解集与方程根的关系求解即可【详解】由题,令,则,当时,若,则,舍去；当时,即,当时,若,则或；或或,舍去；当时,若,由于解集为,则,则,所以故答案为：【点睛】本题考查由不等式解集求参问题,考查分类讨论思想,考查运算能力16已知正数满足：，则的最小值是_【答案】2.【解析】将等式两边同时乘以，然后利用基本求解出，同时分析取的条件是否满足.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，取等号时，所以，所以，当时，符合条件，所以.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式的综合应用，对于转化和计算的能力要求较高，难度较难.利用基本不等式求解最值时，注意分析取等号时对应的条件是否满足.三、解答题17已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据以及构成等差数列，求解出等比数列的公比，由此求解出的通项公式；（II）根据先计算出的通项公式，判断出为特殊数列并利用对应求和公式完成求解.【详解】（I）设等比数列的公比为，由题意，得，解得或（舍）又，所以（II），所以数列是以1为首项2为公差的等差数列【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.(1)已知等比数列中的某几项成等差数列，可通过将其中项改写成首项和公比的形式，从而计算出等比数列的基本量；(2)等差数列常见求和公式：.18已知函数的图象经过点且在处，取得极值求：（1）函数的解析式；（2）的单调递增区间【答案】（1）；（2）的单调递增区间为【解析】（1）代入点的坐标，求出导函数，解方程组可得、；（2）求出导函数，令导函数大于得出函数的单调递增区间.【详解】（1）由的图象过点得，又，由得，（2），由得或，的单调递增区间为和【点睛】本题是一道关于利用函数求导函数的题目，关键掌握利用导数研究函数的单调性的方法.19如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且（I）证明：平面；（II）求二面角的余弦值【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】（I）根据平面并结合的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；（II）建立空间直角坐标系，求解出平面的一个法向量，写出平面的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角是钝角还是锐角，从而计算出二面角的余弦值.【详解】（I）证明：因为平面，平面，所以由得为等腰直角三角形，故，又，且面，面，故平面（II）如图，以点为原点，分别以的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立直角坐标系，设平面的法向量为，则，即，令，则，故可取由（I）可知平面，故平面的法向量可取为，即，则，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.利用空间向量求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合图形中二面角的实际情况完成求解.20已知数列满足：，令（I）求和；（II）为数列的前项和，对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】（I）将原等式变形为时对应的等式，两式相减得到的通项公式注意验证是否成立，从而可求的通项公式；（II）利用裂项相消法求解出的表达式，再根据恒成立思想计算出，根据即可求解出的取值范围.【详解】（I），当时，-得：，又，满足上式，（II），所以是递增的，又因为，所以，所以原不等式等价于，实数的取值范围为【点睛】本题考查利用递推公式求解数列的通项公式以及用裂项相消法求和并完成恒成立问题的求解，难度一般.(1)利用递推公式求解通项公式时，若出现了下标为的情况，在最后要注意验证是否满足条件；(2)常见适用裂项相消法求和的数列的通项形式：，.21已知椭圆的离心率为，点在椭圆D上（1）求椭圆D的标准方程；（2）过y轴上一点E（0，t）且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为kOA，kOB，若对任意实数k，存在2，4，使得kOA+kOB=k，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据条件列方程组，解得，（2）利用坐标表示，设直线的方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理代入化简可得，最后根据，解得的取值范围【详解】（1）椭圆的离心率，又点在椭圆上，得，椭圆的标准方程为.（2）由题意得，直线的方程为，由，消元可得，设，则， ，由，得，即，又，.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，通常抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数性质的探求来使问题得以解决.22已知函数，（是的导函数），在上的最大值为.（1）求实数的值；（2）判断函数在内的极值点个数，并加以证明.【答案】（1）（2）在上共有两个极值点，详见解析【解析】（1）先求得，再求得，再讨论的符号，判断函数的单调性，再求最值即可得解；（2）利用（1）的结论，结合，由零点定理可在上有且仅有一个变号零点；再当时，由导数的应用可使，即在上单调递增，在上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得在