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数理方法总结范文 数理方法总结CH1复数的基本概念1.1复数的定义复数是实数的扩充推广，复数可表示成直角坐标系XOY上的点，也可由有序实数对（x,y）定义，记为z=(x,y)或者z=x+iy，实数x可以看成实轴上上的点（x,0）或者z=x表示。 1.2复数的表示1.点表示一个复数z=x+iy由一对有序实数（x,y）唯一确定。 2.三角表示通过直角坐标与极坐标的关系()22cos sinz x iy x y i=+=+3.指数表示法在三角表示法的基础上，引进欧拉公式cos siniei=+则z可表示成22iz x y e=+1.3复数的幂与方根1.复数的乘积与商121122,i izre zr e=则()121212iz zrr e+=()121122iz rezr?=2.复数的幂()nn in inzre re=当1r=时，得到德魔符公式()cos sincos sinnin in+=+3.复数的根-多值2,0,1,1kii n n nnzre rek n+=?1.4复数序列的极限1.定义按一定顺序排列的复数()1,2,n n nz xiy n=+=?称为复数序列，记为nz。 一个复数序列等价于两个实数序列nx和ny的有序组合。 2.极限当000,nnnz xiy z xiy=+=+时，0limnnz z=的充要条件是00lim,limn nnnx x y y=。 CH2解析函数2.1复变函数将函数的概念由实数域推广到复数域时，自变量及函数值的取值范围相应的推广到复平面上的点集（称为定义域和值域）。 1.区域邻域集合()0,0,z z z zc?+记为()0,U z单联通区域中间没孔（圆域）。 多连通区域中间有孔（圆环域）。 2.复变函数的定义若对区域D内任意复数zxiy=+，均存在另外一个复数w uiv=+与之对应，则称w是z的复变函数，记为()w f z=。 把集合D表示在一个复平面上，称该平面为z平面；把相应的函数值()w f z=表示在另一个复平面上，称该平面为w平面。 3.极限只要00z z 4.复变函数的连续性2.2复变函数的导数1.导数与微分定义设函数()w f z=在区域D内有定义，0z D，0z zD+，如果如下极限存在()()000limzf z z f zz+?则称此极限为导数。 2.可导的充要条件函数()()(),f zu x y iv x y=+在点z可导的充要条件是 （1）(),u xy、(),v xy在（x,y）处可导； （2）(),u xy、(),v xy满足柯西-黎曼方程,u vu vxy yx?=?且()u vv uf z iix xy y?=+=?2.3解析函数的定义和判定1.定义如果()f z在0z及0z的某个邻域内处处可导，则称()f z在0z处解析，并称0z是()f z的解析点。 奇点()f z的不解析点。 注意解析必可导，可导比一定解析。 2.函数解析的充要条件在整个定义域上可导一定解析。 2.4解析函数与调和函数的关系1.调和函数定义二元实变函数(),xy?在区域D内具有二阶连续的偏导数，且满足拉普拉斯方程22220xy?+=?，则称(),xy?是在区域D内调和函数。 域区域D内解析函数的实部和虚部均为D内的调和函数。 2.共轭调和函数定义若在区域D内，(),u xy、(),vxy均为调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则称v为u的共轭调和函数。 （但不能说u是是v的共轭调和函数）3.构造解析函数的方法 （1）不定积分法 （2）曲线积分法 （3）全微分法2.5单值初等函数1.幂函数2.指数函数指数函数zw e=是单值函数。 是已2i为周期的周期函数3.三角函数sin,cos22iz iziz ize eeez zi?=在复数范围内，sin1,cos1z z不成立。 4.双曲函数CH3多值函数及其单值分支复变函数的多值性体现在幅角的多值性，z平面上一个点的幅角是2k+。 多值函数的定义z平面上一个点对应w平面上多个点一个单值分支对每个自变量z只保留多值函数一个对应值而将其他对应值舍去的办法达到的单值连续函数。 枝点当z沿着包含某定点z z=?的充分小的简单闭曲线运动一周时，多值函数单值分支的值发生改变时，称z z=?为多值函数的枝点。 割线从多值函数的枝点z z=?做一条延伸到无穷远处的曲线，称为割线。 3.1对数函数（ln wz=）()()2ln ln=ln2=lni kwz rezi kziArgz+=+对于一个固定的复数z，对数函数将其对应为无穷多个复数，这些复数的实部都是相同点，为ln z，而虚部两两相差2的整数倍。 确定单值分支的一个方法在z平面上，首先规定好0z的一个幅角值0argz zz=，而任意一点z的幅角值规定为0z的幅角值与幅角该变量之和101arg argargz z z z z zz z z=+3.2幂函数3.3反三角函数和反双曲函数3.4多值函数的四则运算3.5多值函数的复合函数CH4复变函数的积分4.1复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义设()w f z=在z平面上的一条以a,b为端点的曲线上有定义，顺着这条曲线从a到b的方向上取分点01,z z?，在1kz?到kz的每个小弧段上任取一点k?，做和数()()11nn kk kkSf z z?=?当分点无限多，如果和数nS的极限存在，则称极限为函数的积分。 一般不能将其写为()baf z dz?的形式，因为积分值不仅与a,b的值有关，还与积分路径有关。 相当于二元函数的线积分。 2.积分的计算1.方法1化为实部和虚部两个二元实函数积分的计算问题若()()(),f zu xy ivxy=+在C上连续，则()f z沿C可积，且有()()C C Cf zudx vdyi vdxudy=?+?2.参数方程法设有光华曲线()()()():C z z tx tiy ta tb=+，即()z t连续，则()()()()bC af zdz f zt zt dt=?4.2柯西积分定理1.单联通区域的柯西积分定理如果函数()w f z=在z平面上的单联通区域D内解析，C为D内任一条逐段光滑的简单闭曲线，则()0Cf zdz=?2.推论在单联通区域中解析的函数()f z的积分值只依赖于起点和中点，而与积分路径无关。 3.多连通区域的柯西积分定理设区域D是由曲线12CCC=+?所围成的有界多连通区域，()f z在D内处处解析，则有()0f zdz=?4.3不定积分4.4柯西积分公式1.柯西积分公式设函数()f z在区域D及其边界C所组成的闭区域D上解析，a为D内任意一点，则()()12Cf zfa dzi z a=?2.高阶导数公式()()()()1!2nnCf znf adziz a+=?CH5复数项级数和复变函数项级数5.1复级数1.复数列一列有次序的复数()1,2,nnnz ab in=+=?2.复数项级数复数列构成的表达式1nnz=?3.复数列级数收敛的充要条件1nna=?、1nnb=?都收敛。 4.复数列收敛的必要条件lim0nnz=5.绝对收敛1nnz=?收敛6.条件收敛1nnz=?收敛，而1nnz=?发散7.复变函数项级数()1nnf z=?5.2幂级数1.定义形如()1nnnc za=?2.阿贝尔第一定理1)如果0nnnc z=?在0z z=收敛，那么对于0z z的所有点，级数0nnnc z=?绝对收敛2)如果0nnnc z=?在0z z=发散，那么对于0z z的所有点，级数0nnnc z=?发散。 3.阿贝尔第二定理5.3解析函数的泰勒展开泰勒定理如果()f z在圆域D0z z R? 在D内，()f z有洛朗级数()0nnnc zz+=?1)可去奇点当0nc?=时，称0z为可去奇点2)极点当只有有限个0nc?，称0z为极点。 且当max0nn cm?=时，称0z是m阶极点。 3)本性奇点当有无穷多个0nc?，称0z为本性奇点。 2.奇点判定0z为可去奇点的充要条件为()0limz zf z C=0z是m阶极点的充要条件为()()()01mf zzzz?=?()z?在0zzR? 2.留数的求法0z是()fz的解析点或可取奇点，有()0Re,0s fzz?=?0z是()fz的k阶极点，有()()()()010011Re,lim1!kkkz zdzzf zs fzzk dz?=?0z是()fz的本性奇点，留数由定义或者展开求1C?3.在无穷远点处的留数4.留数定理第一留数定理设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。 设()fz在D内除去有限个孤立奇点外处处解析，并且它在C上也解析，那么有()()12Re,nkCkf zdz isf zz=?=?C的积分是按关于D的正向取的即沿区域在边界的左侧的方向。 第二留数定理设()fz在除去有限孤立奇点121,nz zz?和nz=的扩充复平面内解析，则()1Re,0nkksf zz=?=?6.3用留数定理计算实积分利用留数定理计算实积分的关键选取恰当的被积函数；选取恰当的简单封闭的积分曲线。 1.()20cos,sin Rx x dx?型积分计算积分曲线原点为圆心的单位圆被积函数()22111,22z zfz Rziz zi?+=?解法设ixz e=，则dz izdx=，有()()221111sin,cos2222ix ixix ixzzx ee xe eiziz?+=?=+=因此，所求积分可转化为沿正向单位圆周上复函数的积分()22xx11cos,sin,22zz zRx xdx Rdzzi zzi=?+=?2.()f xdx+?型积分的计算对()fz的要求a()()()P zfzQ z=，其中()P z、()Q z都是多项式，且分母()Q z的次数比分子()P z的次数至少高两次；-使上半平面的半圆上的积分为0.b()fz在上半平面只有有限个孤立奇点，且()0Q z=没有实根（即()fz在实轴上没有奇点）。 -为了应用留数定理积分曲线实轴从?到+的直线和上半平面的半圆被积函数()fz()()()()12Re,RnRkC RCkf zdzf xdxfzdz is fzz+?=?=+=?()()12Re,nkkf xdx isfzz+?=?=?式中()1Re,nkks fzz=?是()fz在上半平面的留数和。 3.含三角函数的无穷型积分()0cos f x pxdx+?、()0sin fx pxdx+?的计算约当引理设当z时，函数()Q z在0arg z中一致趋于0，则()lim0RipzC RQz edz=?没写完6.4积分路线上有奇点类型积分的计算基本方法重新构造封闭曲线计算积分，在奇点处画半径为无穷小的圆弧没玩6.5多值函数的积分7含参变量的积分8傅里叶变换9拉普拉斯变换9.8拉普拉斯变换的应用求解线性方程的拉普拉斯变换解法大致步骤1.对关于()y t的微分方程取拉普拉斯变换，得到一个关于象函数()Y s的代数方程，称为象方程；2.解象方程，得到象函数；3.对()Y s取拉普拉斯逆变换，就可得到微分方程的解()y t。 常用到的象函数的微分性质()()()1nnnndL tf tL f tds?=?()()()1nnn mmndL tftL ftds?=?10二阶线性常微分方程的级数解法11典型方程的推到及基本概念 一、数学物理方程中三个典型方程1.弦振动方程()22222222,u uatxu uafx tt x?=?=+?2.热传导方程()2222222,u u u uafxy ztt xy z?=+?3.拉普拉斯方程2222220uuux yz?+=? 二、定解条件对于一个确定的物理过程，仅给出表征该过程的物理量所满足的泛定方程式不够的，还要附加一定的条件，一般每个自变量在一阶微分时给出一个定解条件，二阶微分时给出两个定解条件（几阶微分积分几次就会有几个待确定系数）。 每个自变量在一阶微分时给出一个定解条件，二阶微分时给出两个定解条件（几阶微分积分几次就会有几个待确定系数）。 定解条件的一般形式为0uau bn?+=?当b=0时称为第一类边界条件；当a=0时称为第二类边界条件；当a、b均不为0时，称为第三类边界条件。 三、定解问题1.初值问题（柯西问题）2.第一边值问题（狄利克莱问题）3.第二边值问题（诺依曼问题）4.第三边值问题（罗宾问题）5.混合问题12行波法局限性只能用于求解无限区域上的波动方程定解问题。 求解方式先求出含任意函数的同解，再根据定解条件确定特解。 一、弦震动方程的达朗贝尔解法（无界弦震动柯西问题）定解问题归结为()()()()222220,0,0,tu uaxttxuu x x xt?=?=?=?13分离变量法 一、基本思想把数学物理方程定解问题中的多元函数分解为若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。 二、常见二阶微分方程的解()()000X XXX l+=?=?本征值2nnl?=?本证函数()()sin1,2nnX xB x nl=?()()000X XXX l+=?=?本征值2nnl?=?本证函数()()cos1,2nX xxnl=? 三、定