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多边形教学实录市五中:张惠教学目标： 认识多边形，探索多边形的某些性质；在活动中感受归纳思想；在活动中发展有条理地思考。重点和难点：了解多边形及其有关概念，定义的准确理解。教学过程实录：师上课生老师好.师请坐下,请同学们把书翻到第84页。同学们都看到了，我们今天要讨论的内容呢，是“多边形”。大家请看书。书上有几幅照片，我们可以从中看到哪些平面图形？生有五边形。师很好！有五边形。还有呢？生有六边形。师对！这些蜂窝的造型是六边形。生有圆。 师对。请同学们在练习本上分别画一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形。生（活动）师画好了吗？生好了。师请看黑板。（在黑板上各画一个三角形、四边形、五边形、六边形，见图2）师我们来看一下哦，我们把三角形、四边形、五边形、六边形等这些图形都称为多边形。请同学们讨论一下：这些多边形都有些什么共同特点？生都有线段。有顶点。 封闭。这些线段都不在同一条直线上。师对呀！构成多边形的几条线段都不在同一条直线位置上。应该是依次首尾相连。如果我们把每条线段的两个端点分别看成是这条线段的起点和终点，那么所谓的“依次首尾相连”也就是说第一条线段的终点恰好是第二条线段的起点，第二条线段的终点又恰好成为第三条线段的起点，依此类推：前一条线段的终点恰好是下一条线段的起点，直到最后一条线段的终点呢？（边说边在图上比划）生第一条的起点。师这就叫“依次首尾相连”。那么根据我们探讨出来的这些多边形所共同具有的这些特点，我们能不能给多边形下个定义？也就是说：什么叫多边形？生由不在同一直线上的几条线段依次首尾相连而成的封闭图形叫多边形。师很好！这些多边形呢，我们还可以给它们取名字。比如说这个三角形（见图2），它有三个顶点，我们把它的三个顶点分别记为A、B、C（图5），那么这个三角形就叫“三角形ABC”。生好不好叫它三角形BCA的呀？师哎，这个问题提得好！可不可以叫它三角形BCA？生可以的。生不可以，叫它三角形BCA变成另外一个三角形了喽！生还是这个喽，三角形没变过呀！众生可以。师很好！ABC和BCA，都是指同一个三角形，也就是这个三角形。就好比这本书，我们叫它作“书”，美国人叫它“book”。师现在，请同学们给你刚才所画的这个四边形的四个顶点依次标上字母A、B、C、D。请注意：字母要大写，要按照顺序依次书写。师现在，请看这个四边形，它有四个顶点A、B、C、D，我们任意选择其中一个顶点，选哪一个？生A好了。师好！我们选择顶点A。现在，我们把顶点A和其它三个顶点分别连结起来，得到三条线段AB、AC和AD。在这三条线段中，AB和AD原来就是这个四边形的两条边，而线段AC则是新增加的，我把它用虚线来表示（图5）。我们把新增加的这条线段AC，称为这个四边形的一条对角线。请同学们观察一下，在增加了这条对角线以后，图形有什么变化？生变成两个三角形了。师很好！四边形的一条对角线将这个四边形分割成了两个三角形。现在，请大家看自己刚才所画的这个五边形，请选择其中一个顶点，请你画出从这个顶点出发的所有对角线。师从五边形的一个顶点出发，一共有几条对角线？生2条。师这2条对角线把这个五边形分割成几个三角形？生3个。师那么在六边形中，从一个顶点出发应该有几条对角线？生应该有3条。师如果是3条对角线，应该把这个六边形分割成几个三角形？生4个。师请验证你的猜测。师画好了吗？我们刚才猜得对不对？生对的。师请看黑板（画出图6）。我们来看一下：从四边形的一个顶点出发，有1条对角线，把这个四边形分割成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，有2条对角线，把这个五边形分割成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，有3条对角线，把这个六边形分割成4个三角形。这其中是不是可能存在着某种规律？（列出表1）表1 对角线 三角形四边形 1 2五边形 2 3六边形 3 4生三角形比对角线多1个。师是这样吗？生是的。师那么能不能对七边形的情况作个验证？生（活动）生（非常兴奋地）对的。师我们是否可以作如此猜想：对于任意一个多边形，从其中一个顶点出发所得到的所有对角线，将这个多边形分割成三角形的数目，总比从这个顶点出发所得到的对角线的数目要多1个？生是的！师那么照这样推测的话，一个 边形，它有n条边和 n个顶点。生n是什么？师n是什么？它表示某一个多边形的边数。如果这个多边形是四边形，那么这个 它就是4；如果这个n多边形是100边形，那么这个 就是100。现在，我们先选择这个n边形的一个顶点，如果从这个顶点出发的对角线恰好有(n-2) 条，那么被分割成的三角形应该有多少？生 (n-2) 个。师确定吗？生确定！师同学们确实非常聪明！（将表1改写成表2）边数 对角线 三角形4 1 25 2 36 3 4师你知道吗？同学们刚才所使用的这种推理的方法，是在科学研究中非常有用的一种方法，叫做“归纳法”。有许多科学发现，就是科学家们从有限的、特殊的事例中分析总结出它们共同的规律或特点，得出某个结论，再用这个结论去指导后面的研究，从而获得了许多发现。当然，用这种方法所获得的结论有时候也可能会出错。由于结论是从特殊的、有限的事例中总结出来的，因此有时候它不一定能适合所有的情况。所以，对于用这种方法所得到的结论的正确性，往往还需要我们去证明。师现在请同学们看这里。我们来看一看这张表：在四边形中，有1条对角线，2个三角形；五边形中，有2条对角线，3个三角形，等等，现在我们要研究的问题就是：是不是对所有的多边形都是这样？还是只对部分多边形才是这样？一个多边形，如果从一个顶点出发的对角线有1条，那么被分割成三角形的个数是不是一定比1多1个，也就是2个呢？怎么说明这一点呢？生用刀切。师对！沿着对角线用刀切。不切的时候有几块？生 1块。师每切1刀？生多出1块。师现在这个多边形从一个顶点一共有几条对角线？生 1条。师也就是一共切了1 刀是吧？是不是在原来1的基础上增加了 1块？那么一共就有2块？师也就是说：任何一个多边形，从一个顶点出发的对角线有几条，那么被分割成三角形的数目一定比它生多1个师OK！鼓鼓掌！生（鼓掌）师好！刚才我们解决了一个难题，证明了多边形中，从一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成三角形的个数一定比对角线的条数要多1个。师对于一个n边形来说，它从一个顶点出发的对角线有多少我们并不知道。我们这里的 只是一个假设，从四边形、五边形和六边形的情况来看，这个结论似乎是正确的。就是说：任意一个多边形，从它的一个顶点发出的对角线的数目比它的边数少3。有没有同学能够再次来证明一下？生师看一看，想一想。生是的。师哦？说说看？生n边形么就有n个顶点，它自己就已经有一个了，那么就少了一个；它旁边还有两条本来就是边，这样就又少了2条，一共少了3条。所以（声音轻下去了）师来！你胆子大一点好了，不要紧的！那么我把刚才听到的话再说一遍好不好？众生好。师多边形有几条边就有几个顶点是不是？当我们选定其中一个顶点的时候，另外的顶点还有几个？生（n-1）个。师这样我们把所有这些顶点和一开始选中的那个顶点连起来，是不是只有（n-1）条线段？这就比边数少一个了是不是？生是。师但这些得到的线段是不是每一条都是对角线？生不是。师为什么？生有两条是边。师对！你看，和这个顶点最接近的两个顶点，左边一个，右边一个，这两点和原来的那个点连起来的这两条线段都不是对角线，而是这个多边形的边，要不要去掉？生要。师这样又少了2个，一共少了几个啦？生3个。师现在剩下的是不是都是对角线？生是的。师也就是说对角线的数目一定比边的数目要少3，对不对？生对！师很好！我们回顾一下刚才的学习内容：从生活中所熟悉的事物中抽象出几何图形，然后对这些图形的某些性质进行了探讨。在探索活动中，同学们充分发挥了自己的聪明才智，发现了很多非常重要的结论。如果我们把这些结论本身先放在一边不说，就得到结论的整个过程而言，这个过程