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第一章行列式习题课 排列的逆序数及计算方法 2 对换及对换对排列的影响 3 n阶行列式的定义 4 n阶行列式的性质 关于代数余子式的重要性质 5 行列式按行 列 展开 1 余子式与代数余子式 6 克拉默法则 注意前提与结论 由此可得 对方程个数与未知数个数相同的方程组来说 1 若非齐次线性方程组无解或多解 则其系数行列式必为零 2 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 一 填空题 1 当i j 时 1 9的排列1i25j4897为奇排列 2 四阶行列式中 含有a11a23的项为 3 如果行列式D中的零元素的个数大于n2 n个 则D 4 若行列式每行元素之和为零 则D 5 已知四阶行列式D的第二列元素为 1 2 0 1 它们对应的余子式分别为5 3 7 4 则D 7 n为奇数时 8 已知四阶行列式 Mij是元素aij的余子式 则M41 M42 M43 M44 9 已知 则x3的系数为 二 计算行列式 除掌握概念与性质外还有技巧 方法一 三角形法 例1 解 原式 另解 原式 方法二 拆项法 看例1 解 原式 方法三 升级法 看例1 解 原式 例2计算 解 构造 这是一个范德蒙行列式 x a x b x c x d d a d b d c c a c b b a 另外f x 按最后一列展开 可得 上两式是恒等式 故同次幂系数相等 而D A45 故 D a b c d d a d b d c c a c b b a 方法四 降级法 行列式中某一行 列 只有一 二个非零元素或者某行 列 的余子式都是易求的行列式 例3证明 证法一 按最后一行展开 右边 证法二 按第一列展开 得 Dn xDn 1 an 再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果 按第一列展开即可得结果 证法四 从第一列开始 前一列乘1 x加到后一列上去 化成下三角行列式 方法五递推法 如例1的第二种解法 例3的第二种解法 方法六用数学归纳法 例4证明 证 对阶数n用数学归纳法 练习 1 计算 解 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由范德蒙行列式知 2 计算 解 提取第一列的公因子 得 解 证 例6有甲 乙 丙三种化肥 甲种化肥每千克含氮70克 磷8克 钾2克 乙种化肥每千克含氮64克 磷10克 钾0 6克 丙种化肥每千克含氮70克 磷5克 钾1 4克 若把此三种化肥混合 要求总重量23千克且含磷149克 钾30克 问三种化肥各需多少千克 解 第一章测试题 一 填空题 每小题4分 共36分 二 计算下列行列式 每小题10分 共20分 有非零解 三 解答
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