论数学活动经验的数学内涵及形成的条件.doc

论数学活动经验的基本内涵及其形成的条件基金项目：内江师范学院专业综合改革项目（01249-5）。收稿日期：2013-03-11；最终修回日期：2013-07-23作者简介：王新民（1962），男，汉族，甘肃敦煌人，内江师范学院数学系副教授，主要从事数学教育与数学文化研究。王新民（内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641100） 摘要：数学活动经验是过程与结果相统一的产物，主要是一种具有过程性、创造性的个人知识。在教学中强调数学活动经验旨在培养学生的创新能力。从实践的视角来看，数学活动经验是指学习者在亲历问题解决的过程中，通过尝试与反思，在思维方式与量化模式及其体验之间所建立的联系。问题、思维和主体建构是数学活动经验形成的基本条件，其中，问题是前提性条件，思维是内在性条件，主体建构是决定性条件。 关键词：数学活动经验；基本内涵；形成条件中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称标准）最引人注目的变化是提出了数学“四基”基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“四基”是对“双基”的发展和超越，它丰富和完善了我国数学教育教学的基本内容。当前，数学活动经验的研究是一个热点问题。根据文献1，数学活动经验的含义界定有“知识说”、“认识说”、“经历说”、“知识过程说”、“组合说”等，内容构成与分类也是花样繁多，不胜枚举。这是人们从不同视角认识和理解数学活动经验的结果，具有一定的指导作用，但有的研究也存在认识上的偏差：有的追求“大而全”，无限制地扩大范围，造成数学活动经验无处不在的错觉；有的由于只强调经验的某一侧面而生出许多“单面经验”；还有采用“属+种差”的方式，仅从词义上演绎组合出许多“带帽子”的经验。笔者认为，数学活动经验的研究需要创新思路，对数学活动经验如何鉴别、其基本内涵是什么、有怎样的形成条件等根本性问题应加强研究。一、关于数学活动经验的认识（一） 数学活动经验主要是一种个体知识数学“四基”是一个有机的知识系统，各“基”之间相互联系、相互促进，每一“基”都代表一种相对独立的知识类型。LW安德森等将知识所分成的四种类型：事实性知识、概念性知识，程序性知识与反省认知知识2，基础知识属于事实性知识与概念性知识，基本技能属于程序性知识，基本思想属于反省认知知识中的策略性知识，它们具有“普遍性、公共性和一般性”等特点，属于公共知识范畴。基本活动经验则主要为个体所拥有，具有“个人性、默会性、寄托”3等特征，属于个体知识范畴。从“过程结果”的维度，基础知识与基本技能是可用数学术语或数学公式所表述的结果性知识，而基本思想和基本活动经验是一种隐性的、动态的过程性知识，其中基本活动经验所强调的是学习者在数学活动中所形成的那些“创始性、开放性、不完全、不固定的”4（141）过程性知识。因此，基本活动经验主要是一种过程性的个体知识，它所具有的不确定性、未完成性、创造性和多样性，使“四基”具有了动态性和开放性。有些研究者超越了基本活动经验的知识范畴，不加限制地将某些相关成分加入其中，使其承载了过多的内容，如把具有独特内涵的数学思想与数学思维当作数学活动经验来看待。（二）数学活动经验是过程与结果相结合的产物在历史上，人们对经验的认识经历了三个发展阶段。第一阶段，把经验纯粹看作是实际的事情，是人们在特定的生活环境中所做的事和受到的遭遇，主要表现为各种行动、技能和手艺；将经验和理性对立起来，“理性越被抬高，经验就越被贬低”。4（231）第二阶段，把经验看作是一种认知的途径，是“被动地受纳孤立的感觉”，虽然使经验具有了理智的涵义和认知的涵义，但却忽略了经验与实际行动的关联。第三阶段，主要是杜威的观点，认为经验是人与环境主动交互作用的过程与结果，“经验包含着行动或尝试和所经受的结果之间的联结”。5（165）很明显，前两个阶段各自强调了经验的一个侧面，“把经验的对象和能经验的活动与状态分裂为二”，6是过程与结果相分离的产物，而杜威将经验的主动性与理智性有机地结合起来，建立了完整的经验概念。因此，数学活动经验应该是数学活动过程与所获结果相结合的产物，单纯地把数学活动经验看作一种经历或者是一种体验性的结果，都是片面的，是缺乏完整意义的“单面经验”。（三）数学活动经验旨在创新标准提出数学基本活动经验的主要目的是培养学生的创新能力，“培养学生的创新能力，需要让学生经历这两种推理（演绎推理与归纳推理）过程，尤其是归纳推理过程，从中积累经验，为学生将来的发明和发现奠定基础，这是数学基本活动经验提出的初衷”。7数学活动经验在于学习者创造自己的数学认识和数学情感，“它不是指向静态而是指向不断地动态形成着的新创造”8（216），创新性是数学活动经验最为重要的特征。在一些研究中，将许多没有多少创新的经验（如听讲的经验、合作的经验、交流的经验等）归入到数学活动经验之中，使得数学活动经验的外延无限地膨胀。这样，容易使人们认为，只要开展了数学学习活动，就能形成数学活动经验。（四）数学活动经验研究需要实践视角当前关于数学活动经验的研究，大都采用一种“自上而下”的思维方式根据已有的经验理论或某个词典中“经验”的词义，以“活动+经验”的方式命名了许多“数学活动经验”。从形式上讲，这种思维方式并没有什么错误，但当运用它们去鉴别、区分、解释具体的数学活动经验时，却显得苍白乏力。因为以这种方式给出的数学活动经验，只是文字和概念上的排列组合，根本上缺少具体的数学内涵。如，有学者通过类比心理学中的“智力结果模式”，从内容、活动、经验三种维度，针对一种具体的学习内容，竟然计算出了9种数学活动经验，9但却不问这些活动经验在教学实际中是否真的存在。弗莱登塔尔曾指出：“对数学教育应该采用更为实践的目光，而不是以过于理论的方式。”10数学活动经验产生于数学活动之中，具有个体性、过程性和情境性，应该从实践的角度来揭示它的基本内涵。二、数学活动经验的基本内涵和特征怀特海指出：“实体如何形成的方式构成了实体是什么的内容。”8（204）虽然数学活动经验“没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，是动态的、隐性的和个人化的” 11，但它并不是一种虚无缥缈的东西，而是一种数学学习活动过程中真实存在的实体性概念，既具有独特的内容结构，也具有独特的形成方式，蕴含着丰富的数学内涵。（一）数学活动经验的基本内涵根据数学模式观的观点，“数学是通过模式建构，以模式为直接对象来从事客观实体量性规律性研究的科学”，12（143）这里的“模式”是一种具有普适性的“量化模式”，是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”。12（124）“量化模式”既有数量关系方面的，也有空间形式方面的，具体可分为属性模式和关系模式两种形式，前者属于“一元判断”（one-place predicate），后者属于“二元或多元判断”（two or more-place predicates）13。例如，自然数、多项式、三角形等概念所描述的是一种属性模式，而函数的单调性、等差数列、勾股定理等所揭示的是一种关系模式。作为数学学习活动的产物，数学活动经验必然是以“量化模式”为操作感知对象的，是在建构、理解与运用“量化模式”的过程中所形成的经验。积累数学活动经验，就是要学习者经历“量化模式”的形成过程，感受和体验其逻辑特点以及在解决问题中的作用，最终形成“量化模式”的应用意识。因此，“量化模式”是构成数学活动经验的基本要素之一。数学活动经验与数学活动是密不可分的，数学活动既是产生数学活动经验的过程，也是数学活动经验的载体，数学活动的方式决定着数学活动经验的内容与性质。数学活动不同于一般意义上的直观操作活动，它本质上是一种思维活动，总是围绕着某种思维方式而开展的。斯托利亚尔指出：“数学活动可看作是按下述模式进行的思维活动：（1）经验材料的数学组织化（借助于观察、实验、归纳、类比、概括积累事实材料）；（2）数学材料的逻辑组织化（由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论）；（3）数学理论的应用。”14其中，经验材料的数学组织化主要采用合情推理的思维方式；数学材料的逻辑组织化主要以抽象思维与演绎推理的思维方式来实现；数学理论的应用则主要是以模型化的思维方式而展开。由此可见，思维方式是构成数学活动经验的又一基本要素。根据杜威的经验理论，尝试与反思是形成经验的两种基本过程，尝试是“寻找世界真相的实验”，5（154）而反思是“识别我们所尝试的事和所发生的结果之间的关系”。5（158）对于数学活动经验而言，尝试就是按照某种思维方式感知现实情境中所蕴含的量化属性与量化关系，以寻找所存在的或可能的量化模式的思想实验，是一种证实或否定某种“思想假设”的过程。而反思则是识别或构建思维方式与量化模式之间的联系，以形成“数学活动图式”的过程。这种“数学活动图式”即是在经历数学活动过程中所学到的东西，它可以像“范例”一样指导与控制学习者未来的数学活动，就如弗莱登塔尔所指出的：“通过对自己活动的反思，人们发现了范例，它被抽象成心理活动的模式，并且制造了有意识的图式，同时思想沿着新过程的行为被组织起来成为可接受的图式，这些图式可能会指导他们的一生。”15可以认为，思维方式与量化模式之间的联系是数学活动经验的存在形态和表征方式。在实际的数学活动中，量化模式与思维方式是在怎样的情境中，通过怎样的方式联系起来的？尝试与反思在其中又是如何发挥作用的？可以通过实际的数学活动案例来分析说明。下面是一个学生关于“将一个三角形的三个内角折成一个平角”活动过程的自述：“当拿到这个问题时，我第一反应是：想办法将三个角往一块凑。一开始，虽然将三个角凑到一块儿了，但三个角之间有的有重叠，有的之间有间隙，所以，这样的折法无法验证三角形内角和为180度。上述折法中存在重叠与间隙，我想如何消除这些问题呢？是不是因为折三角形的时候太随意了，没有遵守一定的原则才会导致如此结果？忽然想到三角形的任意一条边都可看作一个平角，如果以任意一边为基准来折叠，把这条边所对的角折下来看看。经反复尝试就把三个角拼成了一个平角，这时图形变成了矩形。折出矩形后，才发觉，第一条折痕是整个三角形的一条中位线，且在整个折的过程中具有相当强的对称性。”上述数学活动，主要由两个相互联系的思维操作阶段构成，一是尝试操作阶段，这一过程体现出这样的特点：首先，这个学生处在一种困惑的问题情境之中，由于没有现成的方法可以利用，需要在不断的尝试中去寻找有效的操作方式。其次，尝试操作总是在某种“想法”的引导下开展的。这里的“想法”是一种内在的思维方式，是一种“自觉假设”，它在尝试过程中发挥着引领作用，决定着操作活动的成效。二是反思发现阶段，通过回顾与分析尝试操作的过程与结果，在思维操作方式与图形位置关系及其性质（量化模式）之间建立了相应的联系，如将“第一条折痕”与中位线联系起来，将折叠后的图形与矩形联系起来，将折叠过程与对称性联系起来等，当然还包括那些在思维方式与成功（或失败）体验之间所建立的联系。基于上述分析，笔者认为：数学活动经验是指学习者在亲历问题解决的过程中，通过尝试与反思，在思维方式与量化模式及其体验之间所建立的联系。其中，量化模式是数学活动经验的对象；尝试是思维方式引导下的操作活动或思想实验，包括观察、动手操作、运算、组合等思维活动；反思是对尝试的监控、评估和调整，包括比较、选择、重新安排尝试步骤、发现与建立联系等思维活动；思维方式是经验的认知成分，包括思维方法、思维策略、想法、假设等；体验是经验的情感成分，包括情绪体验、应用意识、创新意识等。（二）数学活动经验的基本特征前述定义，给出了数学活动经验的构成要素、产生背景及形成方式，既体现了经验的一般属性，也揭示了独特的数学内涵。具体而言，数学活动经验具有以下基本特征。一是问题性。数学活动经验产生于不确定的问题情景之中，是问题解决过程中与困难做斗争的产物。问题性表明，只有那些以问题为载体的数学活动才有可能生成数学活动经验。二是过程性。尝试与反思是形成数学活动经验的两个基本活动过程，其中，尝试是反思的基础和对象，反思是创造经验意义的活动，为进一步尝试提供依据与指导，二者相辅相成、相互推进，组成了数学活动经验“进化过程的结构”：尝试反思尝试反思。过程性表明，数学活动经验是一种学习者“存在于其中的实体”，是学习者自组织的产物，处于动态开放的变化发展之中。三是思维性。量化模式与思维方式是构成数学活动经验的基本要素。量化模式既是抽象思维的产物，又是数学活动的对象，是数学活动经验的客观性内容；思维方式是数学活动的内在机制，是数学活动经验的主观性内容。思维方式与量化模式之间的交互作用是数学活动经验形成发展的基本方式。思维性表明，数学活动经验本质上是一种思维活动经验。四是联系性。思维方式与量化模式及其体验之间联系的建立是数学活动经验形成的标志。其中的联系主要有两个方面：一是认识性联系，包括思维方式与操作效果之间的联系、量化模式之间的联系、问题特征与思维方式以及量化模式之间的联系等；二是体验性联系，既包括与过程相联系的决策感、困惑感、挫折感，也包括与效果相联系的成就感与发现感，以及所形成的自我感与应用意识等。联系性不但表征了数学活动经验的存在形态，而且还揭示了数学活动经验的创新属性一种数学活动经验的形成就意味着一种新联系的诞生。三、数学活动经验形成的条件前述分析表明，数学活动经验是在不确定的问题情境中，通过个体的尝试与反思活动，在思维方式与量化属性之间所建构的联系，其中，问题、思维与主体建构是数学活动经验形成的三个基本条件。（一）问题是数学活动经验形成的前提条件并不是任何一种数学活动都能够产生数学活动经验，只有那些让学习者产生困难的数学活动才有可能孕育数学活动经验。李舒尔曼曾指出：“经验产生于这样的遭遇：不确定的情境导致一种判断行动，行动付诸实施，于是结果也随即产生。”16（148）史宁中同样强调：“让学生亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法，就可以逐渐形成正确思考与实践的经验。”17问题中蕴含着数学活动经验的“种子”，它是形成数学活动经验的前提条件。其一，问题激发了尝试活动。问题使学习者处在一种困惑的、不确定的情境之中，由于缺乏解决问题的方法而产生一种不平衡感，促使他们自己做出判断和决策，在一种“自我假设”的引导下以尝试的方式做出反应。其二，问题引发了思维。杜威指出：“思维是在事物还不确定或者可疑，或者有问题时发生的。哪里有反思，哪里就有悬而未决的事。”5（162)）题中所蕴含的那些“未经探索的联系”，是思维的方向和目标，它们激活了学习者的“心灵之酶”。如，当学生将三个角凑到一块儿了，但三个角之间有重叠或间隙时，诱发了将三角形的三个内角折叠到一条边上的操作思路。其三，问题解决孕育了发现感和成就感。当不确定的情境被消除，那些隐藏的联系被发现时，一种战胜困难的快乐与发现创新的愉悦感便会油然而生，这是数学活动经验中最有价值的情感体验。如此看来，单纯的“课堂讲授”和“课堂练习”是很难产生数学活动经验的。在课堂讲授中，为了在有限的时间内给学生传授更多的知识，老师不得不把知识形成所经历的那些原初想法、尝试错误、调整完善等思维过程，过滤压缩成一种简明的逻辑结构，将那些可能出现的问题消灭在萌芽状态，使得知识成为一种确定无误的定论而缺少了某些可能性的“问题触角”。在课堂练习中，一般都有现成的解题方法，学生只需照单抓药、按部就班。这两种学习活动中，学习者很少能够遇到真正具有挑战性的问题，因而也就缺少了形成数学活动经验的客观条件。（二）思维是数学活动经验形成的内在条件首先，数学活动的对象量化模式是抽象思维的产物，是具有一定普适性的数量关系与空间形式，它们并不是现实世界中的具体事物，人们的感官是不能够直接感知的，只有通过比较、分类、概括、想象、抽象等思维活动才能够理解与认识它们。其次，数学活动经验中的“尝试”不是一种简单的直观操作行为，而是一种在思维方式引导下的“思想实验”，思维方式的适切性直接影响着尝试的有效性。再次，反思本身就是一种探究性思维。通过反思，寻找与识别思维活动方式与量化模式之间的联系，明确量化模式产生的细节，以形成一种可信赖的“数学活动图式”。因此，思维是生成数学活动经验的“心灵之酶”，是形成数学活动经验的内在机制。不仅单纯的活动或经历不能产生数学活动经验，而且，那种简单直观地在尝试与所发生的结果之间建立联系，也是不能形成数学活动经验的。例如，只是让学生沿着周界去摸一遍某个物体或图形，是难以形成有关周长的活动经验的。由于周长是一个数量，单靠摸是感觉不出来的，只有通过测量、计算或估算才能形成关于周长的“数感”，而要形成周长的概念（量化模式），还需要进一步地经历比较、概括、抽象等思维过程。（三）主体建构决定着数学活动经验形成的内容与质量“经验表征了人与环境之间主动的关系。”4（233）数学活动经验是在思维方式与量化模式相互作用的过程中形成的，学习者主体性发挥的水平决定着基本活动经验的内容和质量。就参与同一数学活动而言，有些学生获得了较为丰富的数学活动经验，而有些则没能形成相应的数学活动经验，犹如李舒尔曼曾经指出的那样：“一些教师会拥有20年的经验，而另一些教师可能拥有20次一年的经验。”16（140）数学活动经验的形成需要主体建构作保障，需要积极发挥学习者的主动性、自主性和创造性。主动性决定着数学活动经验形成的活力。经验是在活动中产生的，并且只能产生于个体所亲历的活动之中，即所谓“经验是我们存在于其中的实在”。8（209）数学活动经验是组合学习者的操作、思维和体验的产物，需要学习者的行为参与、认知参与和情感参与。具体地讲，需要学习者“三动”：一是要行动起来，在尝试中能够宁静地逗留于问题面前，全神贯注地考察活动的每一个环节；在反思中随时监控和主动调节尝试操作的过程，评估操作的成效。二是要互动起来，不但要同问题情境中的量化属性与量化关系进行对话，在协调信息的过程中建立思维活动方式与量化模式之间的联系；而且也要同自己的所作所为进行对话，弄清楚自己做了什么、能做什么；同时，还要与同伴的经验进行对话，以达成经验的“互识”和“共识”。三是要心动起来，经验的形成过程也就是情感、态度、信念、价值赋予的过程，学习者要对所探讨的问题感兴趣，要对问题解决充满期盼，要有接受挑战的勇气。自主性决定着数学活动经验的内容。数学活动经验的形成过程是一个自组织过程，学习者面对的是一个不确定的问题情境，从思维方式的选择、尝试程序的设计与调整、活动情绪的调动与调节，到思维方式与量化模式之间联系的建立，都要由学习者自主判断与自主决策，需要学习者选择性地抽出蕴含在问题情境中的量化模式和“未经探索的联系”。学习者已有的知识经验、思维能力以及兴趣、态度、意志力等，直接影响着数学活动经验的内容。创造性决定着数学活动经验的质量。数学活动经验的本质在于创新，它是学习者“在创造与发现数学概念和数学理论的活动中、在理解数学逻辑性的过程中、在解决问题的过程中获得的”，18是在协调思维方式与量化模式及其体验之间关系的过程中所建构的联系。这种联系建立的越丰富、越有效，所形成的数学活动经验的质量就越高。因此，要形成良好的数学活动经验，需要树立一种“个人乃知识与文化的创造者”4（127）的知识理念，要善于发现问题和提出问题。学习者的主体建构使得数学活动经验具有显著的个人性和创新性，那种“通过替代性的可观察的演示活动证实假设，带来情境性很强的替代性经验观察经验” 19，是很难成为数学活动经验的。因为在观察演示活动中，学生只能看到被观察者的外部表征活动，而看不到内在的思维活动方式；他们既没有经历由困惑到自主地提出假设的过程，也没有创造性地在思维活动方式与量化模式之间建立联系。这种“观察经验”根本上缺乏自主性和创造性，所以也就不能称其为数学活动经验。参考文献：1 王林我国目前数学活动经验研究综述J课程教材教法，2011，31（6）：43492 L W安德森，等学习、教学和评估的分类学M皮连生，译上海：华东师范大学出版社，2007：383 陈佑清教学论新编M北京：人民教育出版社，2011：1254 张华，钟启泉经验课程论M上海：上海教育出版社，20005 约翰杜威民主主义与教育M王承绪，译北京：人民教育出版社，19906 约翰杜威经验与自然M傅统先，译北京：商务印书馆，1960：467 郭玉峰，史宁中数学基本活动经验：提出、理解与实践J中国教育学刊，2012，（4）：42458 小威廉姆 E 多尔后现代课程观M王红宇，译北京：教育科学出版社，20009 仲秀英学生数学活动经验的内涵探究J课程教材教法，2010，30（10）：525710 孙晓天数学课程发展的国际视野M北京：高等教育出版社，2003：10111 王新民，王富英，王亚雄数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考J数学教育学报，2008，17（3）：172012 徐利治徐利治论数学方法学M济南：山东教育出版社，200013 Constantinos Christou, Eleni Papageorgiou. 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