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1 高等数学高等数学 上上 A 卷卷 参考答案参考答案 2009 1 16 一 单项选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 共计 15 分 1 B 2 A 3 B 4 C 5 D 二 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 共计 15 分 1 a 1 2 e 2 2 sin2 sin dyxfx dx 3 23 3 1 23 xx f xxo x 或 23 4 1 01 23 4 x xxe f xxx 时 11 2 sincos fxx xx 0 x 时 sincosfxxxx 2 00 1 sin0 0 limlim0 xx x f xf x xx 0 0f 00 0 sin0 limlim0 xx f xfxx xx 0 0f 因此 0 0 f 11 2 sincos 0 sincos 0 0 0 xx xx fxxxxx x 即 2 1 1 pCx 3 将 0 3 y 代入上式得 1 3C 则 2 3 1 dy x dx 解得 3 2 3yxxC 将 0 1y 代入上式得 2 1C 于是 3 31yxx 六 8 分 设函数 0 1 0 x xex f x xx 所围成图形的面积 22 1 2 0 0 0 1 1 1 22 x S xxdx x 22 0 0 0 1 2 0 43 x x x 22 00 0 2 0 1 31 4 xx S x x 令 0 0S x 得 0 1 3 x 0 1 3 x 舍 当 0 1 0 3 x 时 0S x 时 0S x 故 0 1 3 x 是 S x的极小 值点 也是最小值点 所求点为 3 2 33 P 4 八 8 分 解 由假设 1 3 2 0 2 ftftdxxftV t 将上式对 t 求导并化简得 2 3 22 tftttftf 即齐次方程 22 32yxy dx dy x 令u x y 代入 并分离变量得 x dx uu du3 2 积分得 3 1 ln 1 lnxC u u 即 3 Cyxxy 1 CC 代入条件 9 2 2 x y 得 1 C 于是 3 1x x y 九 证明 1 任取非零 1 1 x 由 Lagrange 定理得 0 f xfxfxx 0 1 x 于是 fx 在 1 1 内严格单调增加 故 x 惟一 2 由 Taylor 公式 2 1 0 0 2 f xffxfx 在 0 与x之间 于是由 1 得 2 1 0 0 2 xfx xf xffxfx 所以 2 1 0 2 xfx xfxfx 0 1 2 fx xf xf x x 2 0 0 lim
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