数学人教版八年级上册13.4课题学习：最短路径问题.ppt

13 4课题学习最短路径问题 第十三章轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版八年级数学教学课件 芜湖市第三十九中学陶绍俊 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 B A l 数学经典 导入新课 导入新课 复习引入 1 如图 连接A B两点的所有连线中 哪条最短 为什么 最短 因为两点之间 线段最短 2 如图 点P是直线l外一点 点P与该直线l上各点连接的所有线段中 哪条最短 为什么 PC最短 因为垂线段最短 3 在我们前面的学习中 还有哪些涉及比较线段大小的基本事实 三角形三边关系 两边之和大于第三边 斜边大于直角边 4 如图 如何做点A关于直线l的对称点 讲授新课 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称之为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题 本节将利用数学知识探究数学史的著名的 牧马人饮马问题 及 造桥选址问题 牧马人饮马问题 如图 牧马人从点A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 作图问题 在直线l上求作一点C 使AC BC最短问题 问题1现在假设点A B分别是直线l异侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点A 点B的距离的和最短 l 根据是 两点之间 线段最短 可知这个交点即为所求 连接AB 与直线l相交于一点C 问题2如果点A B分别是直线l同侧的两个点 又应该如何解决 想一想 对于问题2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 l 利用轴对称 作出点B关于直线l的对称点B 方法揭晓 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 造桥选址问题 如图 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 1 如图假定任选位置造桥MN 连接AM和BN 从A到B的路径是AM MN BN 那么怎样确定什么情况下最短呢 2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢 思维分析 我们能否在不改变AM MN BN的前提下把桥转化到一侧呢 什么图形变换能帮助我们呢 思维火花 各抒己见 1 把A平移到岸边 2 把B平移到岸边 3 把桥平移到和A相连 4 把桥平移到和B相连 1 把A平移到岸边 AM MN BN长度改变了 2 把B平移到岸边 AM MN BN长度改变了 怎样调整呢 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢 问题解决 A1 M N 如图 平移A到A1 使AA1等于河宽 连接A1B交河岸于N作桥MN 此时路径AM MN BN最短 理由 另任作桥M1N 连接AM BN A N 由平移性质可知 AM A N AA MN M N AM A N AM MN BN转化为 而 转化为 在 A N B中 由线段公理知A1N1 BN1 A1B 因此 AM MN BN A 证明 由平移的性质 得BN EM且BN EM MN CD BD CE BD CE 所以A B两地的距离 AM MN BN AM MN EM AE MN 若桥的位置建在CD处 连接AC CD DB CE 则AB两地的距离为 AC CD DB AC CD CE AC CE MN 在 ACE中 AC CE AE AC CE MN AE MN 即AC CD DB AM MN BN 所以桥的位置建在MN处 AB两地的路程最短 解决最短路径问题的方法 1 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 2 当涉及含有固定线段 桥 的方法是构造平行四边形 从而将问题转化为平行四边形的问题解答 当堂练习 1 如图 直线l是一条河 P Q是两个村庄 欲在l上的某处修建一个水泵站 向P Q两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则所需要管道最短的是 D 2 如图 牧童在A处放马 其家在B处 A B到河岸的距离分别为AC和BD 且AC BD 若点A到河岸CD的中点的距离为500米 则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家 所走的最短距离是米 1000 3 如图 荆州古城河在CC 处直角转弯 河宽相同 从A处到B处 须经两座桥 DD EE 桥宽不计 设护城河以及两座桥都是东西 南北方向的 怎样架桥可使ADD E EB的路程最短 解 作AF CD 且AF 河宽 作BG CE 且BG 河宽 连接GF 与河岸相交于E D 作DD EE 即为桥 理由 由作图法可知 AF DD AF DD 则四边形AFD D为平行四边形 于是AD FD 同理 BE GE 由两点之间线段最短可知 GF最