人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用讲义（打包14套）新人教A版选修2-2.zip
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用章末复习讲义新人教A版选修2_2201912300328.doc
2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用讲义（打包14套）新人教A版选修2-2.zip
收藏
资源目录
压缩包内文档预览：
编号：56355212
类型：共享资源
大小：37.40MB
格式：ZIP
上传时间：2020-03-12
上传人：扣***
认证信息
机构认证
宁夏凯米世纪网络科技有限公司
宁夏
统一社会信用代码/组织机构代码
91640100MA774ECW4K
IP属地：宁夏
15
积分
- 关 键 词：
-
2019-2020学年数学人教A版选修2-2
导数及其应用
2019-2020学年高二数学
人教A版选修2-2
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2
第1章导数及其应用
- 资源描述：
-
2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用讲义（打包14套）新人教a版选修2-2.zip,2019-2020学年数学人教a版选修2-2,导数及其应用,2019-2020学年高二数学,人教a版选修2-2,2019-2020学年人教a版高中数学选修2-2,第1章导数及其应用
- 内容简介：
-
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念1平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率.若函数yf(x)在点xx0及其附近有定义，则函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率是.2瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值的改变量yf(x0x)f(x0)如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作l.3函数yf(x)在xx0处的导数一般地，函数yf(x)在点x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y| xx0.即f(x0) .简言之，函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率导数概念的理解(1)x0是指x从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若f(x0) 存在，则称f(x)在xx0处可导并且导数即为极限值(3)令xx0x，得xxx0，于是f(x0)limxx0 与概念中的f(x0) 意义相同1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()答案(1)(2)(3)2做一做(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)2x1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是_(2)函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_(3)函数yf(x)在x1处的导数可表示为_答案(1)2(2)2(3)f(1)或y|x1探究求函数的平均变化率例1求函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.结论探究在本例中，分别求函数在x01,2,3附近x取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小解由例题可知，函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x01，x时，函数在1,1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当x02，x时，函数在2,2.5上的平均变化率为k26230.513.5；当x03，x时，函数在3,3.5上的平均变化率为k36330.519.5.所以k1k20 bx0 cx0 dx0答案c解析由平均变化率的定义可以得出结论2若函数f(x)2x2的图象上有点p(1,2)及邻近点q(1x,2y)，则的值为()a4 b4xc42(x)2 d42x答案d解析42x，故选d3已知函数f(x)2x3，则f(5)_.答案2解析因为yf(5x)f(5)2(5x)3(253)2x，所以2，所以f(5) 2.4某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则t2 s时，汽车的瞬时速度是_答案4 m/s解析s(2) (47t2t2)4.5一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间(1)求质点在1,1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1时的瞬时速度解(1)质点在1,1t这段时间内的平均速度为63t.(2)由(1)知63t，当t无限趋近于0时， 6，所以质点在t1时的瞬时速度为6.- 7 -11.3导数的几何意义1割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，ab是过点a(x0，f(x0)与点b(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点b沿曲线趋近于点a时，割线ab绕点a转动，它的极限位置为直线ad，这条直线ad叫做此曲线在点a处的切线于是，当x0时，割线ab的斜率无限趋近于过点a的切线ad的斜率k，即kf(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数的导数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y .“函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量(2)导函数：如果函数yf(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f(x)或y，即f(x)y .(3)导函数也简称导数(4)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)导函数f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)0没有导函数()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为_(2)若函数f(x)在点a(1,2)处的导数是1，那么过点a的切线方程是_(3)函数f(x)x21的导数f(x)_.答案(1)45(2)xy30(3)2x探究求切线方程例1求曲线yf(x)x32x1在点p(1,2)处的切线方程解易证得点p(1,2)在曲线上，由yx32x1得y(xx)32(xx)1x32x1(3x22)x3x(x)2(x)3.3x223xx(x)2.当x无限趋近于0时，3x223xx(x)2无限趋近于3x22，即f(x)3x22，所以f(1)5.故点p处的切线斜率为k5.所以点p处的切线方程为y25(x1)，即5xy30.条件探究将本例中的在点p(1,2)改为过点q(0,1)，结果会怎样？解点q不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)由本例知kf(x0)3x2，切线方程为yy0(3x2)(xx0)又切线过点q(0,1)，1y0(3x2)(0x0)又y0x2x01得x1，即x01，切线方程为5xy10.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程【跟踪训练1】已知曲线c：f(x)x3.(1)求曲线c上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)x3相切的直线解(1)f(x) (x)23x23xx3x2，f(1)3123，又f(1)131，切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点为p(x0，x)，由(1)知切线斜率为kf(x0)3x，故切线方程为yx3x(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x3x(1x0)，即2x3x10，解得x01或x0.k3或k.故所求的切线方程为y13(x1)或y1(x1)，即3xy20或3x4y10.探究利用导数求切点坐标例2过曲线yf(x)x2上哪一点的切线(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50.解因为f(x)x2，所以f(x) 2x.设p(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即p(2,4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即p是满足条件的点结论探究在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135.解由例题解析过程知f(x)2x，因为倾斜角为135，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即p是满足条件的点拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0得切点坐标【跟踪训练2】已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30.解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan451，即f(x0)4x01得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)探究导数几何意义的综合应用例3设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解因为yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，所以3x2ax09(3x0a)x(x)2.所以f(x0)li 3x2ax09，所以f(x0)329.因为斜率最小的切线与直线12xy6平行，所以该切线斜率为12.所以912，解得a3，又a0，所以a3.拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目此处常与函数、不等式等知识点结合(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x0处的导数f(x0)并求出其最小值，建立等量关系求出a的值，再根据a0这一条件对结果进行取舍【跟踪训练3】已知点m(0，1)，f(0,1)，过点m的直线l与曲线yx34x4在x2处的切线平行(1)求直线l的方程；(2)求以点f为焦点，直线l为准线的抛物线c的方程解(1)因为y x24，所以y|x20，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y1.(2)因为抛物线以点f(0,1)为焦点，以直线y1为准线，所以设抛物线方程为x22py，则1，p2.故抛物线c的方程为x24y.1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0).注意：若在点(x0，f(x0)处切线l的倾斜角为，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为xx0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f(x)函数yf(x)在x0处的导数，就是导函数f(x)在点xx0处的函数值.1已知曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，那么()af(x0)0 bf(x0)0 df(x0)不确定答案c解析因为曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数就是切线的斜率，又切线2xy10的斜率为2，所以f(x0)0.2某堆雪在融化过程中，其体积v(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：v(t)h3(h为常数)，其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的()at1 bt2 ct3 dt4答案c解析如图所示，平均融化速度实际上是点a与点b连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线v(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是t3.3曲线yx2在x0处的切线方程为_答案y0解析f(x) 2x，所以f(0)0，故切线方程为y0.4设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于_答案3解析f(1) a，f(1)a3.5已知曲线y2x27，求曲线过点p(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.因为2327119，所以点p(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为a (x0,2x7)，则切线的斜率k4x0.又因为点p(3,9)，a(x0,2x7)都是切线上的点，所以k4x0，解得x02或x04.当x02时，k8，切点为(2,1)，切线方程为y18(x2)，即8xy150；当x04时，k16，切点为(4,25)，切线方程为y2516(x4)，即16xy390.故所求的切线方程为8xy150或16xy390.- 8 -1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1几个常见函数的导数2基本初等函数的导数公式3导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)4导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1f2fn)f1f2fn.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为mf(x)ng(x)mf(x)ng(x)(m，n为常数)基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y(x)x1(注意幂指数可推广到全体实数)对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号(3)第三类为指数函数，y(ax)axln a，当ae时，ex的导数是(ax)的一个特例(4)第四类为对数函数，y(logax)，也可记为(logax)logae，当ae时，ln x的导数也是(logax)的一个特例1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若y，则y21.()(2)若f(x)sinx，则f(x)cosx.()(3)若f(x)，则f(x) .()答案(1)(2)(3)2做一做(1)_.(2)(2x)_.(3)若f(x)x3，g(x)log3x，则f(x)g(x)_.答案(1)(2)2xln 2(3)3x2探究利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数(1)y；(2)ylog5x；(3)f(x)(x1)2(x1)；(4)f(x)22sin2；(5)f(x).解(1)y()(x)x.(2)y(log5x).(3)因为f(x)(x1)2(x1)(x22x1)(x1)x3x2x1，所以f(x)3x22x1.(4)因为f(x)22sin21cosx，所以f(x)sinx.(5)解法一：f(x).解法二：因为f(x)1，所以f(x).拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导【跟踪训练1】求下列函数的导数(1)y；(2)yx3ex；(3)y.解(1)y(x)xx.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2ex(3x)(3)y.探究曲线切线方程的确定与应用例2过原点作曲线yex的切线，求切点的坐标及切线的斜率解因为(ex)ex，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为ye x0e x0 (xx0)因为切线过原点，所以e x0x0e x0，x01.所以切点为(1，e)，斜率为e.条件探究已知点p是曲线yex上任意一点，求点p到直线yx的最小距离解根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，e x01，得x00，代入yex，y01，即p(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标【跟踪训练2】已知点p(1,1)，点q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线pq平行的曲线yx2的切线方程解因为y(x2)2x，设切点为m(x0，y0)，则y| xx02x0.又因为pq的斜率为k1，而切线平行于pq，所以k2x01，即x0，所以切点为m.所以所求的切线方程为yx，即4x4y10.探究导数的综合应用例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点a(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过a(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点【跟踪训练3】已知f(x)x3bx2cx(b，cr)，f(1)0，当x1,3时，曲线yf(x)的切线斜率的最小值为1，求b，c的值解f(x)x22bxc(xb)2cb2，且f(1)12bc0.若b1，即b1，则f(x)在1,3上是增函数，所以f(x)minf(1)1，即12bc1，由，解得b，不满足b1，应舍去若1b3，即3b1，则f(x)minf(b)1，即b22b2c1，由，解得b2，c3或b0，c1.若b3，即b3，f(x)在1,3上是减函数，所以f(x)minf(3)1，即96bc1，由，解得b，不满足b3，应舍去综上可知，b2，c3或b0，c1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求yx的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为yxx，再求yx简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1已知函数f(x)5，则f(1)等于()a5 b1 c0 d不存在答案c解析因为f(x)5，所以f(x)0，所以f(1)0.2已知f(x)x33xln 3，则f(x)为()a3x23x b3x23xln 3c3x23xln 3 dx33xln 3答案c解析(ln 3)0，注意避免出现(ln 3)的错误，f(x)x33xln 3，f(x)3x23xln 3.3曲线ycosx在点a处的切线方程为_答案x2y0解析因为y(cosx)sinx，所以ksin，所以在点a处的切线方程为y，即x2y0.4已知函数f(x)fcosxsinx，则f的值为_答案1解析f(x)fcosxsinx，f(x)fsinxcosx，ffsincos，即f1，从而有f(1)cossin1，故填1.5.已知直线ykx是函数yln x的一条切线，试求k的值解设切点坐标为(x0，y0)yln x，y，y| xx0k.点(x0，y0)既在直线ykx上，也在曲线yln x上，把k代入式得y01，再把y01代入式求出x0e，k.- 9 -12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)在复合函数中，内层函数ug(x)的值域必须是外层函数yf(u)的定义域的子集2复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yxyuux，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)2cos2x，不能得出(sin2x)cos2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求ysin的导数，设ysinu，u2x，则yxyuuxcosu22cos.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)2x，则f(x)x2.()(2)函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()(3)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cosx.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若f(x)2x3，则f(x)_.(2)函数f(x)2sinxcosx，则f(x)_.(3)函数f(x)，则f(x)_.答案(1)2(2)2cosxsinx(3)探究简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数(1)y(3x2)2；(2)yln (6x4)；(3)ysin(2x1)；(4)y.解(1)y(3x2)2由函数yu2和u3x2复合而成，yxyuux(u2)(3x2)6u18x12.(2)yln (6x4)由函数yln u和u6x4复合而成，yxyuux(ln u)(6x4).(3)函数ysin(2x1)可以看作函数ysinu和u2x1的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(sinu)(2x1)2cosu2cos(2x1)(4)函数y可以看作函数y和u3x5的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux()(3x5) .拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】求下列函数的导数(1)y；(2)yesinx；(3)ysin；(4)y5log2(2x1)解(1)设yu，u12x2，则y(u)(12x2)(4x)(12x2) (4x) .(2)设yeu，usinx，则yxyuuxeucosxesinxcosx.(3)设ysinu，u2x，则yxyuuxcosu22cos.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)u(2x1)x.探究复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数(1)yx(x1)(x2)(x0)；(2)ysin2.解(1)yx(x1)(x2)x(x1)(x2)x(x1)(x2)x(x1)(x2)(x1)(x2)x(x2)x(x1)3x26x2.(2)设yu2，usin，2x，则yxyuux2ucos24sincos2sin22sin.解法探究此题有没有其他解法呢？解(1)因为yx(x1)(x2)(x2x)(x2)x33x22x，所以y(x33x22x)3x26x2.(2)y2sinsin2x2sincos2sin.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数【跟踪训练2】求下列函数的导数(1)yx；(2)yxcossin.解(1)y(x)xx().(2)yxcossinx(sin2x)cos2xxsin4x，ysin4xcos4x4sin4x2xcos4x.探究导数的综合应用例3设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)2a.又f(x)a，f(2)a.由得解得故f(x)x.(2)证明：设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可利用f(x)上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解【跟踪训练3】已知曲线c：yx33x22x，直线l：ykx，且直线l与曲线c相切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标解因为直线l过原点，所以直线l的斜率k(x00)，由点(x0，y0)在曲线c上，得y0x3x2x0，所以x3x02.又y3x26x2，所以ky| xx03x6x02.又k，所以3x6x02x3x02，整理得2x3x00.因为x00，所以x0，此时y0，k.因此直线l的方程为yx，切点坐标为.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1下列函数不是复合函数的是()ayx31 bycoscy dy(2x3)4答案a解析a中的函数是一个多项式函数，b中的函数可看作函数ux，ycosu的复合函数，c中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，d中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选a2函数y(exex)的导数是()a(exex) b(exex)cexex dexex答案a解析y(ex)(ex)(exex)3函数f(x)2x2的导数是()af(x)4x bf(x)2xcf(x)22x df(x)2x222x答案c解析由f(x)2x2得f(x)22x，故选c4已知函数f(x)x4ax2bx，且f(0)13，f(1)27，则ab_.答案18解析f(x)4x32axb，由ab51318.5设f(x)ln (x1)axb(a，br，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln (x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意知a，故a0.- 8 -1.3.1函数的单调性与导数1设函数yf(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是单调递增的(2)若在区间(a，b)内，f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案(1)(2)(3)2做一做(1)函数yx3x在(，)上的图象是_(填“上升”或“下降”)的(2)若f(x)ax3bx2cxd(a0)在r上为增函数，则a，b，c的关系式为_(3)函数yx3x25x5的单调递增区间是_答案(1)上升(2)a0，且b23ac(3)，(1，)探究函数与导函数图象之间的关系例1f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0xx1时，f(x)x1时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知c正确答案c拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致【跟踪训练1】设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()答案d解析应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象探究求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2；(4)f(x)ax3x21(a0)解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)x33x2的定义域为(，)f(x)3x26x3x(x2)当0x0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x2时，f(x)0，因此，函数在区间(，0)和(2，)上是单调递减的故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(，0)和(2，)(4)因为f(x)ax22x.当a0时，f(x)x21，其单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)当a0，所以(ax2)x0，即x0，得x0或x，由f(x)0，得x0或f(x)0且a1)解(1)y(1x)ex，yxex，y0时x0，y0，所以递增区间为(，0)，递减区间为(0，)(2)yx32x2x，y3x24x1，xr，令3x24x10，得x1或x.令3x24x10，得x0，得cosx，又x(0，)，0x.令y0，得cosx，又x(0，)，x1时，ln a0，axax0，所以y0在r上恒成立所以函数yaxax在r上是增函数当0a1时，ln a0，所以y1时，函数yaxax在r上是增函数；当0a0，即函数f(x)在1，)上单调递增，不符合题意；当a11，即a2时，函数f(x)在(，1和a1，)上单调递增，在1，a1上单调递减，依题意1,41，a1且6，)a1，)，从而4a16，故5a7.综上，实数a的取值范围为5,7拓展提升已知f(x)在区间(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立；(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证【跟踪训练3】已知f(x)ax33x2x1在r上是减函数，求a的取值范围解因为f(x)ax33x2x1，所以f(x)3ax26x1.当xr时，f(x)为减函数，得f(x)0，即3ax26x10(xr)当a0时，f(x)6x10(xr)不成立(舍去)，当a0时，f(x)0(xr)不成立(舍去)，当a1时，f(x)0得x2x10，解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令f(x)f(x)(x1)，x(0，)则有f(x).当x(1，)时，f(x)1时，f(x)1时，f(x)x1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)f(x2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：求f(x)；确定f(x)在(a，b)内符号；得出结论.1下列命题中正确的是()a若f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x(a，b)都有f(x)0b若在(a，b)上对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数c若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)也是单调函数d若可导函数f(x)在(a，b)上有f(x)0，则在(a，b)上有f(x)0答案b解析根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知b正确；对于a，可能存在x0(a，b)，使得f(x0)0；因为f(x)的单调性与f(x)的单调性的关系不确定，所以c不正确；因为f(x)与f(x)的符号关系不确定，所以d不正确2函数f(x)ax3x在r上为减函数，则()aa0 ba1 ca2 da答案a解析由题意可知f(x)0恒成立，即3ax210恒成立，显然b，c，d都不能使3ax210恒成立，故选a3函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1.令f(x)0得x0，所以f(x)的单调递减区间为.4设函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，因为f(x)在(1，)上是增函数，所以3x2a0对x(1，)恒成立，即a3x2对x(1，)恒成立，又3x20时，y0，函数在r上单调递增；当a0时，y0，函数在r上单调递减；当a0时，y0，函数在r上不具备单调性- 9 -13.2函数的极值与导数1极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a)f(x0)，f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值；f(a)0；在xa附近的左侧，f(x)0，函数单调递增(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：f(b)f(x0)，f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值；f(b)0；在xb附近的左侧，f(x)0，函数单调递增；在xb附近的右侧，f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值(3)如果f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x0)0，反过来不一定成立(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y|x|在x0处不可导，但x0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f(x)0的根或不可导点两种情况1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2做一做(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为_(2)函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是_(3)已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_答案(1)2(2)a0)解(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.(2)由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a0改为a0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当1a0时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当1a0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0
- 温馨提示:
1: 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
3.本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
人人文库网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
|
2:不支持迅雷下载,请使用浏览器下载
3:不支持QQ浏览器下载,请用其他浏览器
4:下载后的文档和图纸-无水印
5:文档经过压缩，下载后原文更清晰
|
川公网安备: 51019002004831号