离散控制系统.ppt

第八章离散控制系统 8 1离散系统及基本概念8 2采样过程和采样定理8 3信号恢复8 4Z变换8 5离散系统的数学模型8 6离散系统的时域分析8 7离散系统的数字校正 自动控制系统的分类 1 按照给定信号 输入量 分类 2 按照系统的数学描述分类 4 按照信号传递的连续性分类 3 按照系统输入与输出信号的数量分类 8 1离散系统及基本概念 控制系统中的信号 连续信号 在时间上和幅值上都连续的信号 是时间变量的连续函数 在全部时间上都是已知的 离散信号 只在离散时间上定义的信号 不是时间的连续函数 脉冲序列 在时间上离散而在幅值上连续的信号 或称离散模拟信号 特点 幅值是任意可取的 代表了脉冲的强度 数字序列 数码 在时间上和幅值上都离散的信号 或称离散数字信号 特点 幅值是采用整量化表示的 即量化单位的整数倍 离散信号 8 1离散系统及基本概念 采样控制系统或脉冲控制系统 系统中的离散信号是脉冲序列形式 数字控制系统或计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式 离散控制系统 控制系统 连续控制系统 控制系统中的所有信号都是连续信号 离散控制系统 控制系统中有一处或几处的信号是离散信号 8 1离散系统及基本概念 工业炉炉温的连续控制系统 放大器与执行电动机 炉子 燃料供应调节阀 炉温 炉温设定值 误差 转速 开度 8 1离散系统及基本概念 工业炉炉温的采样控制系统 8 1离散系统及基本概念 工业炉炉温的计算机控制系统 8 1离散系统及基本概念 在经典控制理论中 主要的研究对象有 单变量线性定常连续系统 概要复习 非线性系统单变量线性定常离散系统 研究内容 8 1离散系统及基本概念 采样控制系统 1 采样 按照一定的时间间隔对连续信号进行取值 将连续信号转变为脉冲序列 或数码 的过程称为采样过程 简称采样 2 采样开关 实现采样的装置称为采样开关或采样器 通常用表示 采样控制系统的典型结构图 脉冲控制器 8 1离散系统及基本概念 3 采样开关的工作原理 对于连续信号e t 采样开关闭合时 e t 通过 开关输出端信号为e t 采样开关开启时 开关输出端信号为0 采样开关以一定的时间间隔开启或闭合时 输出为脉冲序列 是连续信号在某些时段上的信息 8 1离散系统及基本概念 脉冲控制器 4 采样方式 1 周期采样 采样开关等时间间隔开闭 2 随机采样 采样开关开闭的时间间隔是随机的 3 同步采样 多个采样开关等周期同时开闭 4 非同步采样 多个采样开关等周期但不同时开闭 5 多速采样 各采样开关以不同的周期开闭 8 1离散系统及基本概念 脉冲控制器 5 周期采样 采样周期 采样的相等时间间隔 用表示 单位为 s 采样频率 单位为 1 s 采样角频率 单位为 rad s 采样时刻 采样瞬时 采样持续时间 采样器闭合时间 用表示 为简化系统的分析 可以认为趋于零 采样器的输出可以近似地看作理想脉冲 8 1离散系统及基本概念 脉冲控制器 6 信号恢复 把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程 7 保持器 实现信号复现过程的装置称为保持器 零阶保持器 8 1离散系统及基本概念 脉冲控制器 数字控制系统 数字控制系统的典型结构图 计算机作为系统的控制器 其输入输出只能是二进制编码的数字信号 而系统中的被控对象和测量元件的输入输出是连续信号 所以在需要应用A D和D A转换器 以实现两种信号的转换 8 1离散系统及基本概念 1 A D转换器 把连续的模拟信号转换为时间上离散的 幅值上整量化的数字信号 二进制的整数 A D转换的两个过程 1 采样过程 即每隔T秒对连续信号进行一次采样 得到采样后的脉冲序列 2 量化过程 脉冲序列经过量化后变成数字信号 也称为编码过程 一般要求A D转换器具有足够的字长 8bit 10bit 12bit 14bit 要求量化单位q足够小 这样由量化引起的幅值的断续性可以忽略不记 同时 若认为采样编码的时间可以忽略 这时数字信号可以看成脉冲信号 A D转换器可以认为采样周期为T的理想采样开关 作用 8 1离散系统及基本概念 2 D A转换器 把离散的数字信号转换成连续模拟信号 D A转换的两个过程 1 解码过程 把离散数字信号 即数码 转换为离散的模拟信号 即脉冲序列 的过程 2 复现过程 经过保持器将离散的模拟信号 即脉冲序列 复现为连续的模拟信号 即连续信号 经过转换后的信号只是一个阶梯信号 但是 当采样频率足够高时 将趋近于连续信号 作用 D A转换器可以用保持器取代 8 1离散系统及基本概念 可见 采样控制系统和数字控制系统只是在连续信号和离散信号的相互转换方式上各有不同 二者都可以用下面的方框图表示 数字控制器 采样控制系统和数字控制系统的分析和设计的理论是一致的 通常 将采样控制系统 数字控制系统视为离散系统的同义语 8 1离散系统及基本概念 离散控制系统的特点 1 控制计算由程序实现 便于修改 容易实现复杂的控制律 2 可用一台计算机分时控制若干个系统 提高了设备利用 经济性好 3 离散信号的传递可以有效地抑制噪声 从而提高系统的抗干扰能力 5 便于联网 实现生产过程的自动化和宏观管理 4 在自适应控制系统中 计算机控制的引入便于实现自适应控制 8 1离散系统及基本概念 2 用离散系统的状态空间分析法 一阶差分方程组 对系统进行分析 设计 离散控制系统的研究方法 1 用Z变换法建立离散系统的数学模型 之后进行分析 综合 具体包括 稳定性分析 稳态误差计算 时间响应及系统校正 连续系统的许多方法经过适当改变后可以直接应用于离散系统 注意 比较学习 8 1离散系统及基本概念 8 2采样过程和采样定理 理想采样过程 采样开关的闭合时间非常小 一般远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间常数 因此 可以认为 这样 脉冲信号转化为理想脉冲信号 采样器就可以用一个理想采样器来代替 采样过程为理想采样过程 数字控制器 理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程 理想采样器可以看成是一个幅值调制器 理想采样信号表示为 单边性假设 t 0 e t 0 8 2采样过程和采样定理 单位理想脉冲序列 采样信号的拉氏变换 e t 的拉氏变换式E s 不是s的有理多项式 而是s的超越函数 E s 还可写成 其中e 0T e T e kT 为连续信号在各采样时刻的值 8 2采样过程和采样定理 例 已知e t 1 t 求E s 解 因为e kT 1 k 0 1 2 E s 是s的有理多项式 E s 是s的超越函数 二者不相等 8 2采样过程和采样定理 单位理想脉冲序列 可以展开成复数形式的傅里叶级数 式中 是采样角频率 系数 于是 代入 有 取拉氏变换 8 2采样过程和采样定理 采样信号的频谱 对于一个周期函数eT t 可以展开为傅里叶级数 它有两种表现形式 1 三角函数形式 2 指数形式 其中 为基波频率 为复振幅 称为函数eT t 的频谱 反映各次谐波的振幅随频率变化的情况 对于一个非周期函数e t 只要满足傅里叶积分条件 可以展开为各种谐波成分累积的形式 其中 E jw 为各种频率成分谐波的复振幅 称为函数e t 的频谱 反映各次谐波的振幅随频率变化的情况 如果E s 没有右半s平面的极点 则可令s j 得到采样信号e t 的傅里叶变换 上式表示了采样信号e t 的拉氏变换式E s 与连续信号e t 拉氏变换式E s 之间的关系 上式即为采样信号e t 的频谱函数 它也反映了采样信号频谱和连续信号频谱之间的关系 8 2采样过程和采样定理 采样信号e t 的拉氏变换E s 有两种形式的 有不同的作用 设连续信号e t 的频谱是孤立的连续频谱 其中 max是该连续频谱中的最高角频率 而离散信号e t 的频谱则是以 s为周期的无穷多个频谱之和 如图所示 在离散信号的频谱中 k 0的部分 T称为主频谱 它对应于连续信号的频谱 除了主频谱外 还包含无限多个附加的高频频谱 8 2采样过程和采样定理 由图可见 如果 s 2 max 相邻两频谱互不重迭 这样就可以用如图所示特性的理想滤波器 滤掉全部附加的高频频谱分量 保留主频谱 在滤波器的输出端不失真地复现原连续信号 幅值相差l T倍 如果 s 2 max 则会出现相邻频谱的重叠现象 这时 即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来 因而就难以准确复现原有的连续信号 理想滤波器的频率特性 8 2采样过程和采样定理 如果被采样的连续信号e t 的频谱具有有限带宽 且频谱的最高角频率为 max 则只有采样角频率 s满足条件 s 2 maxax采样后的离散信号e t 才有可能无失真地恢复到原来的连续信号 香浓采样定理是设计采样系统的一条重要依据 香农 Shannon 采样定理 8 2采样过程和采样定理 根据采样定理 在满足 s 2 max的条件下 采样信号的频谱彼此互不重叠 这时 就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量 保留主频谱 从而无失真地恢复原有的连续信号 8 3信号恢复 信号恢复是指由离散信号u t 恢复成连续信号uh t 为了讨论方便 可认为是由采样信号e t 恢复成原连续信号e t 数字控制器 保持器是一种时域的外推装置 即根据过去或现在的采样值进行外推 8 3信号恢复 通常把具有恒值 线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶 一阶和二阶保持器 其中最简单 最常用的是零阶保持器 但是 上述的理想滤波器实际上是不能实现的 因此 必须寻找在特性上接近理想滤波器 而且在物理上又是可以实现的低通滤波器 在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器 它把采样时刻kT的采样值e kT 不变地保持到下一采样时刻 k 1 T 8 3信号恢复 1 工作原理 零阶保持器 8 3信号恢复 由图可见 零阶保持器的输出信号是阶梯信号 它与要恢复的连续信号是有区别的 包含有高次谐波 若将阶梯信号的各中点连接起来 可以得到比连续信号退后T 2的曲线 这反映了零阶保持器的相位滞后特性 2 零阶保持器输出的表达式 8 3信号恢复 3 零阶保持器的传递函数 1 根据传递函数的定义 2 根据单位脉冲响应gh t 8 3信号恢复 4 零阶保持器的频率特性 零阶保持器具有如下特性 低通特性 由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减 说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器 但与理想滤波器特性相比 在 s 2 其幅值只有初值的63 7 且截止频率不止一个 所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外 还允许部分高频分量通过 从而造成离散控制系统的输出中存在纹波 8 3信号恢复 8 3信号恢复 时间迟后 零阶保持器的输出为阶梯信号eh t 其平均响应为e t T 2 表明输出比输入在时间上要迟后T 2 相当于给系统增加一个延迟时间为T 2的延迟环节 对系统稳定不利 相角特性 由相频特性可见 零阶保持器要产生相角迟后 且随的增大而加大 在 s 2时 相角迟后可达 180o 从而使闭环系统的稳定性变差 8 3信号恢复 一阶保持器 一阶保持器是种按线性规律外推的保持器 其外推关系为 由于未引进高阶差分 一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有差别 一阶保持器的单位脉冲响应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和 一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示 一阶保持器的频率特性绘于图8 12 图中的虚线表示零阶保持器的频率特性 8 3信号恢复 一阶保持器的频率特性 8 3信号恢复 线性连续系统用线性微分方程来描述 可以应用拉氏变换的方法得到传递函数 来分析其动态及稳态过程 线性采样系统中包含离散信号 用差分方程来描述 同样可以应用一种z变换的方法来进行分析 z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形 8 4Z变换 上式中各项均含有e kTs因子 为便于计算定义一个新变量 其中T为采样周期 z是复数平面上定义的一个复变量 则 8 4Z变换 Z变换的定义 采样信号的数学表达式 采样信号的拉氏变换 记作 称为采样信号e t 的z变换 应该指出 此式所表示的z变换只适用于离散函数 或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性 而不能反映其在采样时刻之间的特性 人们习惯上称E z 是e t 的z变换 指的是经过采样后e t 的z变换 采样函数e t 所对应的z变换是唯一的 反之亦然 但是 一个离散函数e t 所对应的连续函数却不是唯一的 而是有无穷多个 从这个意义上来说 连续时间函数x t 与相应的离散时间函数x t 具有相同的z变换 即 8 4Z变换 8 4Z变换 求离散函数的方法有很多 下面介绍其中两种 1 级数求和法 根据z变换的定义有 Z变换方法 只要已知连续函数在采样时刻kT k 0 1 2 3 4 的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式 对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式 例8 3 试求函数e t 1 t 的z变换 e kt 1 k 0 1 2 3 8 4Z变换 解 例8 4 试求函数e t e at的z变换 8 4Z变换 解 例8 5 试求函数e t at T的z变换 8 4Z变换 解 综上分析可见 通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于 需要将无穷级数写成闭式 这在某些情况下要求很高的技巧 但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义 这又是Z变换无穷级数表达形式的优点 Z变换本身便包含着时间概念 可由函数Z变换的无级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况 8 4Z变换 设连续函数e t 的拉氏变换式E s 为有理函数 可以展开成部分分式的形式 即 式中 pi为E s 的极点 Ai为常系数 对应的时间函数为 其采样序列的Z变换为 8 4Z变换 2 部分分式法 因此 e t 的Z变换为 利用部分分式法求Z变换时 先求出已知连续时间函数e t 的拉氏变换E s 然后将有理分式函数E s 展成部分分式之和的形式 最后查表求出每一项相应的Z变换 8 4Z变换 例8 7 求的Z变换 8 4Z变换 例8 8 求e t sin t的Z变换 解 对应 8 4Z变换 查z变换表有 于是有 则 Z变换的性质 8 4Z变换 1 线性定理 若 a为常数 则 若 Z变换是一种线性变换 若 实数位移 是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期 其中向左平移为超前 向右平移为延迟 则有 及 8 4Z变换 2 实数位移定理 平移定理 z n代表延迟环节 将采样序列延迟n个采样周期 若e 0 e T e 2T e n 1 T 0 zn代表超前环节 将采样序列超前n个采样周期 实际不存在 例8 10求e t 1 t nT 的z变换 例8 11求e t 1 t T 的z变换 8 4Z变换 若 则有 定理的含义是 离散函数e t 乘以指数序列e akT的Z变换 等于在e t 的Z变换表达式E z 中 以取代原算子z 8 4Z变换 3 复数位移定理 例8 12 试用复数位移定理计算函数te at的Z变换 解 令e t t 查表知 根据复数位移定理 有 8 4Z变换 若Z e t E z 且当t 0时 e t 0则 若Z e t E z 且 z 1 E z 的全部极点位于Z平面的单位圆内 则 8 4Z变换 4 初值定理 5 终值定理 例8 14 设Z变换函数为试用终值定理确定e kT 的终值 解 由终值定理得 8 4Z变换 若则有 8 4Z变换 6 卷积定理 设r kT 和g kT 是两个离散函数 则卷积为 式中 当n k时 r k n T 0 证明 根据Z变换的定义 令k n m代入上式 得 考虑到m 0时 r mT 0 故 8 4Z变换 8 4Z变换 例8 15 已知 求E z 的原函数e t 8 4Z变换 Z反变换 是已知Z变换表达式E z 求相应的离散序列e kT 的过程 记作 离散序列仍是单边的 即当k 0时 e kT 0 Z反变换 8 4Z变换 1 综合除法或幂级数法 其中ai bj均为常系数 通过对上式直接作综合除法 得到按z 1升幂排列的幂级数展开式 如果得到的无穷级数是收敛的 则按Z变换定义可知上式中的系数ck k 0 1 就是采样脉冲序列e t 的脉冲强度e kT 因此 可直接写出e t 的脉冲序列表达式 求解时应注意 在进行综合除法之前 必须先将E z 的分子 分母多项式按z的降幂形式排列 实际应用中 常常只需计算有限的几项就够了 因此用这种方法计算e t 最简便 这是这一方法优点之一 要从一组e kT 值中求出通项表达式 一般是比较困难的 8 4Z变换 例8 16 已知 试用幂级数法求E z 的z反变换 解 所以 8 4Z变换 用综合除法得到 2 部分分式展开法 在z变换表中 所有z变换函数E z 在其分子上都普遍含有因子z 所以应将E z z展开为部分分式 然后将所得结果每一项都乘以z 即得E z 的部分分式展开式 8 4Z变换 将z变换函数E z 展开成部分分式之和 然后查z变换表 求相应的e t 8 4Z变换 设z变换函数E z 只有n个单极点z1 z2 zn 将E z z展开成部分分式 其中 Ai是E z z在极点zi处的留数 E z 的部分分式之和为 然后逐项查Z变换表 得到 E z 对应的采样函数e t 为 8 4Z变换 例8 17已知 试用部分分式法求z反变换 例8 18设 试求e kT 解 8 4Z变换 查z变换表得 3 反演积分法或留数法 E z 的幂级数展开式为 8 4Z变换 用zk 1乘以上式两端 得到 设 为z平面上包围E z zk 1全部极点的封闭曲线 沿 反时针方向对上式两端同时积分 可得 8 4Z变换 设 为z平面上以原点为圆心的圆周 令 则 所以 8 4Z变换 根据柯西留数定理 设函数E z zn 1除有限个极点z1 z2 zk外 在域G上是解析的 如果有闭合路径 包围了这些极点 则有 式中表示F z zk 1在极点zi处的留数 即 若zi为单极点 则 若zi为n阶重极点 则 8 4Z变换 提示 一个极点只对应一个留数 例8 19 设z变换函数 试用留数法求其z反变换 8 4Z变换 例8 20 设z变换函数 试用留数法求其z反变换 8 4Z变换 8 5离散系统的数学模型 SISO线性定常离散系统的数学模型有 时域 差分方程复域 脉冲传递函数离散状态空间表达式 SISO线性定常连续系统的数学模型有 时域 微分方程 复域 传递函数频域 频率特性 状态空间表达式 8 5 1差分方程 差分 对于采样信号来讲 指两相邻采样脉冲之间的差值 8 5离散系统的数学模型 设采样序列为e kT 通常为了方便 都省掉T而直接写成e k 一阶前向差分的定义为 二阶前向差分的定义为 n阶前向差分的定义为 8 5离散系统的数学模型 e k 的n阶前向差分 ne k 的展开式 是kT时刻以及将来的n个时刻 即 k 1 T k 2 T k n T时刻的采样值e k e k 1 e k 2 e k n 的线性组合 一阶后向差分的定义为 二阶后向差分的定义为 8 5离散系统的数学模型 n阶后向差分的定义为 8 5离散系统的数学模型 e k 的n阶后向差分ne k 展开式 是kT时刻以及过去的n个时刻 即 k 1 T k 2 T k n T时刻的采样值e k e k 1 e k 2 e k n 的线性组合 8 5离散系统的数学模型 如果方程的变量除了含有e k 本身外 还有e k 的各阶差分 即 e k 2e k ne k 或e k 2e k ne k 则此方程称为n阶前向 或后向 差分方程 由于e k 的n阶差分可以展开成前向或后向的n个采样值的线性组合 所以n阶差分方程是包含e k 以及前向或后向的n个采样值的过程 n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程 式中ai i 1 2 n 和bj j 0 1 2 m 为常数 m n n阶后向差分方程 kT时刻的输出c k 不但与kT时刻的输入r k 有关 而且与kT时刻之前的输入r k 1 r k 2 r k m 有关 还与kT时刻之前的输出c k 1 c k 2 c k n 有关 8 5离散系统的数学模型 n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程 式中ai i 1 2 n 和bj j 0 1 2 m 为常数 m n n阶前向差分方程 8 5离散系统的数学模型 差分方程的解法 1 迭代法2 Z变换法3 经典法 8 5离散系统的数学模型 1 迭代法 由上述差分方程 不论是前向还是后向差分方程 当给定输入序列 并且给定输出序列的n个初值 则可以利用递推关系一步一步地算出输出序列 8 5离散系统的数学模型 例8 22已知后向差分方程为 其中 r k 1 k 1 k 0 初始条件为c 0 0 c 1 1 试用迭代法求输出序列c k k 0 1 2 8 5离散系统的数学模型 解 根据差分方程可得递推关系式为 再根据初始条件 并令k 2 3 有 例8 23将例2 22的后向差分方程转换为前向差分方程 然后用迭代法求输出序列c k k 0 1 2 8 5离散系统的数学模型 解 后向差分方程可转换为前向差分方程 根据初始条件 并令k 0 1 有 递推关系式为 初始条件为 c 0 6 c 1 25 c 0 6 c 1 25 差分方程的全解取决于初值条件和输入r k 一般n阶系统要有n个初始值作为解的计算条件 递推求解是从n个初值以后第 n 1 个采样时刻开始进行的 8 5离散系统的数学模型 这种方法适合编程上机运算 可见 2 Z变换法 Z变换法求差分方程的一般步骤 1 利用Z变换的实数位移定理对差分方程两边进行Z变换 代入相应的初始条件 化成复变量z的代数方程 2 求出代数方程的解C z 3 通过查Z变换表 对C z 求Z反变换 得出解c kT 或c t Z 1 8 5离散系统的数学模型 例8 25已知二阶离散系统的差分方程为 输入信号为r k 1 k 1 k 0 初始条件为c 0 6 c 1 25 试用Z变换法求响应c k 8 5离散系统的数学模型 解 1 对方程两端取z变换 例8 25已知二阶离散系统的差分方程为 输入信号为r k 1 k 1 k 0 试用Z变换法求响应c k 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 3 经典法 线性差分方程的解包含两部分 对应齐次差分方程的通解c0 k 对应非齐次差分方程的特解cT k 对于n阶前向差分方程 相应的齐次方程为 即 设通解具有Azk的形式 且Azk 0 代入齐次方程中应有 即 由于Azk 0 则z必须满足 此式称为差分方程的特征方程 8 5离散系统的数学模型 如果特征方程具有n个互异的单根zi i 1 2 n 则每个Azik都是齐次差分方程的解 故它们的线性组合即为齐次通解 其中待定系数个Ai取决于方程的n个初始条件 如果特征方程的根有重 例如有r重根z1 其余zi i r 1 n 为单根 则齐次差分方程的通解具有如下形式 其中待定系数个Ai取决于方程的n个初始条件 8 5离散系统的数学模型 对于非齐次方程的特解 要根据右端具体输入函数的形式 用试探法求得 例8 21已知离散系统的差分方程为 初始条件为c 0 6 c 1 25 输入信号为r k 1 k 1 k 0 试用经典法求响应c k 8 5离散系统的数学模型 解 特征方程为 特征根为 则齐次方程的通解为 设非齐次方程的一个特解也为恒值 即cT k K 代入方程有 解得 则非齐次通解为 将初始条件代入上式得 解得 则非齐次的全解为 8 5离散系统的数学模型 差分方程解的结构与微分方程相似 齐次通解表示了系统的自由运动模态 各自由分量的敛散性取决于特征方程的根 是系统的固有属性 由此得出 离散系统稳定的充要条件是差分方程特征方程的根的模都小于1 8 5离散系统的数学模型 当特征方程所有根的模都小于1 即则齐次方程解的每一项Aizik都会随着k的增大而减小 最终趋于零 此时 称该差分方程描述的系统是稳定的 只要有一个根的模不小于1 那么齐次方程的解就会随着k的增大而发散 此时 称该差分方程描述的系统是不稳定的 8 5离散系统的数学模型 差分方程的建立 1 由微分方程求差分方程 设连续函数c t 取时间间隔T为足够小 则有 即时间t可以用离散量kT代替 连续函数可以用序列代替 微分方程中的导数可以用差分项代替 积分项可以用级数求和代替 从而微分方程可以变为差分方程 8 5离散系统的数学模型 例8 26已知一阶微分方程为 试求离散化差分方程 8 5离散系统的数学模型 例8 27已知控制系统中常用的比例积分 PI 控制器所对应的微分方程为 试求离散化差分方程 8 5离散系统的数学模型 2 由传递函数求差分方程 连续部分G s 的单位脉冲响应常记为g t 若任意kT时刻给G s 加入一单脉冲r kT t kT 则输出响应为 若给G s 加入一系列脉冲则系统的响应为 8 5离散系统的数学模型 则在各段时间的输出响应c t 为 在采样时刻t kT 利用此式可写出各采样时刻的输出 根据差分的定义推出系统的差分方程 8 5离散系统的数学模型 由传递函数求差分方程的一般步骤为 1 写出连续部分的传递函数G s 2 求出相应的单位脉冲响应 3 由卷积公式写出输出序列函数c kT 4 根据系统的阶次 按差分的定义用c kT 导出差分方程 8 5离散系统的数学模型 例8 28已知系统连续部分的传递函数为 试求系统的差分方程 解 系统的单位脉冲响应为 由卷积公式 采样时刻kT的输出为 联立两式消去和式得 8 5离散系统的数学模型 8 5 2脉冲传递函数 定义 对于线性定常离散系统 在零初始条件下 系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比 称为该系统的脉冲传递函数 或z传递函数 8 5离散系统的数学模型 说明 零初始条件 8 5离散系统的数学模型 说明 脉冲传递函数与差分方程一样 描述系统离散信号之间的关系 但大多数实际采样系统的输出信号是连续信号 而不是离散信号 如图所示 在这种情况下 可以在输出端虚设一个采样开关 并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作 虚设的采样开关是不存在的 如果已知系统的脉冲传递函数G z 以及输入采样信号的Z变换R z 那么在零初始条件下 线性定常离散系统的输出采样信号就可以求得 8 5离散系统的数学模型 如果在G s 上加一系列脉冲 r kT k 0 1 2 可得出输出在各个采样时刻的值c kT k 0 1 2 系统的输出函数序列等于输入函数序列与脉冲响应函数序列的卷积 根据卷积定理有 所以有 意义 脉冲传函为连续系统的脉冲响应的Z变换 脉冲传递函数和连续系统的传递函数一样表征了离散系统的固有特性 8 5离散系统的数学模型 脉冲传递函数的求法 1 由差分方程求脉冲传递函数 一般步骤 1 令初始条件为零 对方程两端进行z变换 化为代数方程 在前向差分方程中 初始条件包括输出的前n项初值c n 1 c n 2 c 0 及输入的前m项初值r m 1 r n 2 r 0 在后向差分方程中 初始条件包括输出的前n项初值c 1 c 2 c n 及输入的前m项初值r 1 r 2 r m 2 根据脉冲传递函数的定义求出 8 5离散系统的数学模型 例8 已知离散系统的差分方程为 试求脉冲传递函数 解 令c 0 c 1 0 r 0 r 1 0 利用实数位移定理 对方程两端取z变换 则有 所以脉冲传递函数为 8 5离散系统的数学模型 例8 已知离散系统的差分方程为 试求脉冲传递函数 所以脉冲传递函数为 解 令c 1 c 2 0 利用实数位移定理 对方程两端取z变换 则有 8 5离散系统的数学模型 2 由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 根据拉氏变换与z变换对照表 可以直接从G s 得到G z 如果G s 为阶次较高的有理分式函数 在z变换表中找不到相应的G z 需将G s 先进行部分分式展开 由连续系统传递函数的意义 有 由离散系统传递函数的意义 有 于是有 求z变换有 8 5离散系统的数学模型 例3 31已知系统结构图如图所示 其中连续部分传递函数为 试求脉冲传递函数 解 将G s 展开成部分分式 查z变换表得 8 5离散系统的数学模型 例3 32已知系统结构图如图所示 其中连续部分传递函数为 试求 1 脉冲传递函数 2 差分方程 解 1 令 nT 查表得 2 按定义 则 可见 脉冲传递函数z n 其物理意义表示离散系统中的一个延迟环节 8 5离散系统的数学模型 1 串联环节的脉冲传递函数 1 串联环节之间有采样开关 等效的脉冲传递函数为 结论 两个串联环节之间有采样开关时 其等效的脉冲传递函数等于两个环节各自脉冲传递函数之乘积 这一结论可推广到n个环节相串联的情况 8 5离散系统的数学模型 例8 33已知开环采样系统如图所示 试求开环脉冲传递函数 8 5离散系统的数学模型 1 串联环节的脉冲传递函数 2 串联环节之间没有采样开关 等效的脉冲传递函数为 结论 两个串联环节之间没有采样开关时 其等效的脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积的z变换 这一结论可推广到n个环节相串联的情况 8 5离散系统的数学模型 输出连续信号c t 的拉氏变换为 对应采样信号c t 的拉氏变换为 求证 即R s 具有周期性 即 8 5离散系统的数学模型 记 于是有 根据脉冲传递函数定义 有 令其中 有 得证 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 例8 34已知开环采样系统如图所示 试求开环脉冲传递函数 对比 可见 可见 开环系统中 采样开关的引入不影响系统的极点即运动模态 3 零阶保持器与环节串联 即 8 5离散系统的数学模型 例8 35已知有零阶保持器的开环采样系统如图所示 其中试求开环脉冲传递函数 对比 可见 开环系统中 采样开关与零阶保持器的引入不影响系统的极点即运动模态 8 5离散系统的数学模型 4 连续信号进入连续环节时的情况 说明 由于r t 没有被采样 故不能单独进行z变换 这时 表示不出C z R z 的形式 只能求得输出的z变换表达式C z 而得不到G z 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 2 并联环节的脉冲传递函数 设两个环节并联系统如图 a 所示 可等效为图 b G z G1 z G2 z C z C1 z C2 z G1 z G2 z R z C1 z G1 z R z C2 z G2 z R z 结论 两个并联环节的脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数之和 这一结论可推广到n个环节相并联的情况 8 5离散系统的数学模型 如果并联支路存在连续输入信号 如图所示 则c t 的拉氏变换为 C s G1 s R s G2 s R s 将其离散化可得 C s G1 s R s G2 s R s G1 s R s G2 s R s 进行z变换可得可得 C z G1 z R z G2R z 8 5离散系统的数学模型 例3 36试求零阶保持器的脉冲传递函数 说明 零阶保持器的脉冲传递函数为常数1 其输出信号的采样值与输入信号的采样值完全一样 零阶保持器无零极点 对系统性能无影响 只起到恢复信号的作用 8 5离散系统的数学模型 3 闭环系统的脉冲传递函数 设闭环采样系统的结构图如图所示 1 对给定输入的脉冲传递函数 2 对扰动输入的脉冲传递函数 若为单位反馈 即H s 1 则 8 5离散系统的数学模型 求脉冲传递函数的一般步骤 1 确定系统的输入输出变量 2 写出各个连续部分的因果关系式 也就是将通道在各采样开关处断开 写出采样之前各连续信号拉氏变换表达式 3 对各表达式采样后取z变换 4 消掉中间变量 5 按定义写出脉冲传递函数 8 5离散系统的数学模型 例3 37已知采样系统结构图如图所示 试求输出信号的z变换式 例3 38已知采样系统结构图如图所示 试求脉冲传递函数C z R z 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 8 5离散系统的数学模型 z变换法的应用条件 当连续部分的输入直接为理想脉冲串时 其传递函数必须满足极点数至少比零点数多两个 即满足 则系统的连续输出信号c t 在采样点不会跳变 这样才可以把c t 的采样值连接起来得到c t 8 6离散系统的时域分析 例3 39开环采样系统结构图如图所示 已知输入r t 1 t 采样周期T 1 s 试求c t 与c t 讨论如下情况 1 用z变换法求c t 2 用拉氏变换法求c t 3 加入零阶保持器 用两种变换分别求c t 与c t 4 改变连续部分为1 s2 用两种变换分别求c t 与c t 8 6离散系统的时域分析 离散系统的时域分析包括 稳定性 动态性能 稳态性能 采样周期的选择 采样周期T应小于系统的最大时间常数 只有满足这一点 才会使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律 举例 图8 66 8 6离散系统的时域分析 根据稳定性的定义 可以用齐次差分反方程的解来研究离散系统的稳定性 稳定性是指在扰动的作用下 系统会偏离原来的平衡位置 在扰动撤除后 系统恢复到原来平衡状态的能力 8 6 1离散系统的稳定性 线性定常离散系统稳定的充要条件是 齐次差分方程的特征方程的根的模都小于1 即 8 6离散系统的时域分析 1 s平面与z平面的映射关系 s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为z eTs s域中的任意点可表示为 映射到z域则为 于是 s域到z域的基本映射关系式为 8 6离散系统的时域分析 8 6离散系统的时域分析 2 Z域稳定的充分必要条件 开环脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数 系统的特征方程 8 6离散系统的时域分析 线性定常离散系统稳定的充要条件是 系统的特征方程的根的模都小于1 即 或全部特征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内 8 6离散系统的时域分析 例3 42已知采样系统结构图如图所示 其中T 0 007 s e 10T 0 5 试分析系统的稳定性 8 6离散系统的时域分析 3 代数判据 劳斯判据 1 构造劳斯表 2 特征根中具有正实部的根的个数等于劳斯表中第一列元素的变号次数 故稳定的充要条件是 劳斯表第一列元素的符号不发生变化 劳斯判据不仅可以判断系统的绝对稳定性 还可以分析系统的相对稳定性 8 6离散系统的时域分析 称为w变换 又称双线性变换 8 6离散系统的时域分析 式中z和w均为复数 分别把它们表示成实部和虚部相加的形式 即 实部为 8 6离散系统的时域分析 例3 43已知采样系统的特征方程式为试分析系统的稳定性 由劳斯表 第一列元素为正 系统稳定 8 6离散系统的时域分析 例3 44已知采样系统的结构图为试分析系统的稳定性 解 1 连续系统是无条件稳定的 8 6离散系统的时域分析 开环脉冲传递函数 系统的特征方程 2 加入采样开关 8 6离散系统的时域分析 双线性变换 由劳斯判据 得 8 6离散系统的时域分析 开环增益K和采样周期T对采样系统稳定性有如下影响 1 采样周期T一定时 增加开环增益K会使采样系统稳定性变差 甚至使系统不稳定 2 开环增益K一定时 采样周期T越长 丢失的信息越多 对采样系统稳定性及动态性能均不利 甚至使系统不稳定 8 6离散系统的时域分析 开环脉冲传递函数 系统的特征方程 3 加入零阶保持器 8 6离散系统的时域分析 双线性变换 由劳斯判据 得 说明 保持器的加入使系统稳定性进一步变差 8 6离散系统的时域分析 离散系统稳定性 1 充要条件 最基本的判稳依据 2 代数判据 双线性变换 劳斯判据 3 影响 采样开关保持器参数 8 6离散系统的时域分析 8 6 2离散系统的动态性能 1 离散系统的时间响应及性能指标求法 1 通过z反变换 计算时间响应 2 直接在时间响应上求性能指标 8 6离散系统的时域分析 8 6离散系统的时域分析 例3 45单位反馈采样系统如图所示当时 试求输出响应及动态性能指标 8 6离散系统的时域分析 开环脉冲传递函数 解 闭环脉冲传递函数 单位阶跃响应的z变换 8 6离散系统的时域分析 用长除法将C z 展开成幂级数 z反变换得脉冲序列为 近似性能指标 8 6离散系统的时域分析 例3 46单位反馈采样系统如图所示当时 试求输出响应及动态性能指标 8 6离散系统的时域分析 开环脉冲传递函数 解 闭环脉冲传递函数 单位阶跃响应的z变换 8 6离散系统的时域分析 用长除法将C z 展开成幂级数 z反变换得脉冲序列为 近似性能指标 8 6离散系统的时域分析 连续系统 8 6离散系统的时域分析 零阶保持器使峰值时间 调节时间都加长 使超调量也增大 这是由于零阶保持器的相角迟后作用 降低系统的稳定性 采样器使上升时间 峰值时间 调节时间略有减小 但使超调量增大 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定性 8 6离散系统的时域分析 2 闭环极点与瞬态响应的关系 设闭环系统的脉冲传递函数为 式中m n zi i 1 2 m 为 z 的零点 pr r 1 2 n 为 z 的极点 为分析简便设其无重极点 8 6离散系统的时域分析 当r t 1 t 时 8 6离散系统的时域分析 稳态分量 暂态分量 显然 随极点在平面位置的不同 它所对应的暂态分量也不同 8 6离散系统的时域分析 1当0 pr 1时 单位圆内正实轴 单调收敛 当1 pr时 单位圆外正实轴 单调发散 2当 1 pr 0时 单位圆内负实轴 振荡收敛 当 1 pi时 单位圆外负实轴 振荡发散 3z平面上的闭环复数极点 余弦规律振荡 当pr 1时 单位圆与正实轴的交点 一串等幅脉冲序列 当pr 1时 单位圆与负实轴的交点 正负交替的等幅脉冲序列 8 6离散系统的时域分析 8 6离散系统的时域分析 通过以上的分析可以看出 闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点 当闭环极点位于单位圆内时 其对应的暂态分量是衰减的 极点离原点越近衰减越快 若极点位于正实轴上 暂态分量按指数衰减 一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减 其振荡角频率为 k T 若极点位于负实轴上 也将出现衰减振荡 其振荡角频率为 T 8 6离散系统的时域分析 当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时 由于输出衰减脉冲交替变号 故动态过程质量很差 当闭环复极点位于左半单位圆内时 由于输出衰减高频振荡脉冲 故动态过程性能欠佳 因此 在离散系统设计时 应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内 且尽量靠近极点 在线性连续系统中采用的 根据一对主导极点分析系统暂态响应的方法 也可以推广到采样系统 8 6离散系统的时域分析 与连续系统类似 求稳态误差有两种方法 1 应用z变换终值定理计算稳态误差 2 应用静态误差系数求稳态误差 8 6 3离散系统的稳态误差 8 6离散系统的时域分析 设单位反馈采样系统如图所示 1 应用z变换终值定理计算稳态误差 表明 系统的稳态误差与G z 及输入信号的形式有关 若系统稳定 则由终值定理 例4 48设离散系统如图所示 输入连续信号r t 分别为1 t 和t 试求离散系统相应的稳态误差 其中 8 6离散系统的时域分析 2 应用静态误差系数求稳态误差 8 6离散系统的时域分析 离散系统开环脉冲传递函数的一般形式为 式中 zi i 1 2 m 为开环脉冲传递函数的零点 pj j 1 2 n 为开环脉冲传递函数的极点 z 1的极点为N重 1 单位阶跃输入时的稳态误差 kp称为位置误差系数 8 6离散系统的时域分析 稳态误差 2 单位斜坡输入时的稳态误差 Kv称为速度误差系数 8 6离散系统的时域分析 8 6离散系统的时域分析 稳态误差 3 单位抛物线输入时的稳态误差 Ka称为加速度误差系数 8 6离散系统的时域分析 8 6离散系统的时域分析 稳态误差 离散系统稳态误差除了与系统的结构 参数和输入信号有关外 还与采样周期有关 缩小采样周期可以减小稳态误差 8 6离散系统的时域分析 0 0 型 0 型 0型 加速度误差 速度误差 位置误差 系统型别 例4 48 8 7离散系统的数字校正 离散系统的校正类型 增加连续校正装置 增加断续校正装置 离散系统的校正方法 与连续系统类似的方法 通过频率法 根轨迹法来设计校正装置 直接数字设计法 根据离散系统的特点 利用离散控制理论直接设计数字控制器 直接数字设计法 数字控制器的脉冲传递函数及约束条件 最少拍控制系统及设计 8 7离散系统的数字校正 8 7离散系统的数字校正 8 7 1数字控制器的脉冲传递函数 1 脉冲传递函数D z 的求法 设单位反馈离散系统如图所示 D z 是数字控制器 G s 是连续部分的传递函数 一般包括保持器和被控对象两部分 称为广义对象的传递函数 G z Z G s 8 7离散系统的数字校正 系统的闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数 数字控制器的脉冲传递函数 或 有 8 7离散系统的数字校正 设计数字控制器D z 的步骤 1 由系统连续部分传递函数G s 求出脉冲传递函数G z 2 根据系统的性能指标和其他约束条件 确定所需的闭环脉冲传递函数 z 3 按下式确定数字控制器脉冲传递函数D z 8 7离散系统的数字校正 2 D z 应满足的两点约束条件 1 D z 是稳定的 即极点均在z平面单位圆内 2 D z 是可实现的 即极点数要大于或等于零点数 8 7离散系统的数字校正 例8 49设如图所示的离散系统中 数字控制器D z 完成的是积分运算规律 称为积分控制器 试写出积分控制器的脉冲传递函数及差分方程 并分析其稳定性与物理可实现性 解 z 1 D z 临界稳定 r l 1 可实现 8 7离散系统的数字校正 8 7 2最少拍系统及其设计 1 稳定度 若离散系统是稳定的 且极点均在半径为e T的圆内 称系统的稳定度为 即极点均集中在原点处 称系统具有无穷大稳定度 8 7离散系统的数字校正 2 最少拍系统 在采样控制过程中 通常把一个采样周期称作一拍 最少拍系统 在典型输入信号作用下 过渡过程能在最少个采样周期内结束的离散系统 或称有限拍系统 具有无穷大稳定度的离散系统 是时间最优的最小拍系统 8 7离散系统的数字校正 证明 设离散系统的闭环特征方程为 当所有极点均在原点时 则要求 特征方程变为 设离散系统的闭环脉冲传递函数为 若所有极点均在原点 上式为 8 7离散系统的数字校正 上式的z反变换 就是系统的脉冲响应为 过渡过程在有限时间nT内结束 证毕 具有无穷大稳定度的离散系统 过渡过程的节拍等于系统的阶次 无零极点相消时 8 7离散系统的数字校正 例8 50设二阶采样系统的闭环脉冲传递函数为 它的两个极点均在z平面原点 故是最少拍系统 试求当r t 1 t 时 系统的响应过程 解 系统的过渡过程在第二拍就达到稳态值 最少拍数等于系统的阶次 系统的超调