均值不等式试卷1 Word版含解析.doc

课时提升卷1二个正数的算术-几何平均不等式一、选择题(每小题5分,共30分)1.设x,yR+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值为()A.40B.10C.4D.22.设x,yR,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A.10 B.6 C.4 D.183.已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A.PQ B.P0,b0,且2a+b=1,则S=2-4a2-b2的最大值为.9.已知x0,y0且满足x+y=6,则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围为.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.(2013苏州高二检测)已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)xy.11.已知a,b,x,yR+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.12.(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式.(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?答案解析1.【解析】选D.因为x,yR+,所以,当且仅当x=4y=20时,等号成立.所以=10,所以xy100,所以lgx+lgy=lg(xy)lg100=2.2.【解析】选D.3x+3y2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.【变式备选】已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为()A.2 B.4 C.16 D.不存在【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y4,当且仅当=4y时,等号成立.3.【解析】选A.由等比知识,得Q=,而P=,且a30,a90,q1,a3a9,所以,即PQ.4.【解析】选C.由得ab=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a2+b22ab2(a2+b2)(a+b)2a2+b22,当且仅当a=b=1时,等号成立.5.【解题指南】利用余弦定理,结合基本不等式求最值.【解析】选A.设AC=b,则cosC=+,因此C的最大值是.6.【解析】选A.当a=1时,2x+=2x+2(当且仅当x=时取等号),所以a=12x+1(x0),反过来,对任意正数x,如当a=2时,2x+1恒成立,所以2x+1a=1.7.【解析】令=t(t0),由ab=a+b+32+3,则t22t+3,所以t3或t-1(舍去),所以3,ab9,当a=b=3时取等号.答案:9,+)8.【解析】因为a0,b0,2a+b=1,所以4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab,且1=2a+b2,即,ab,所以S=2-4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1,当且仅当a=,b=时,等号成立.答案:9.【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x0,y0,+=(10+6)=,当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.答案:10.【证明】因为a,b,x,y都是正数,所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy.因为a+b=1,所以(a+b)2xy=xy,所以(ax+by)(bx+ay)xy.【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:+9.【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以+=+=3+3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.所以+9.11.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=(+)2,当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18,即a+b+2=18,又a+b=10,由可得或【拓展提升】基本不等式的应用技巧判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有:(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中,如函数f(x)=,可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.(2)常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2a+b=ab-3,即()2-2-30.12.【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,得a=.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)+160=80+