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试卷4参考答案1.求极限。原式2.求广义积分。解：3.证明：。证明：令，则，当时，；当时，由于单调递减，则，于是，单调递增，又，则当时，即，从而。4. 设函数在上连续，在内可导，且，。试证必存在，使。证明：因为在上连续，所以在上连续，设在上的最大值为，最小值为，于是，,故。由介值定理知，存在，使，因为，且在上连续，在内可导，因此由罗耳中值定理知，存在，使。5. 求出所有在上的正值连续函数g(x)，使得。解：等式两边同时求导得： 由于当时，于是 由解方程得： 由于g(x)连续，所以求导得所以 即，所以 。故6. 设函数可微，且满足，求。解：方法1 先计算极限：依题意，得，对y积分，故。代入得，即又由积分得，由和，所以。方法2 视y为常数，求解分离变量方程，得，即。依题意得及。于是，有，两边积分并整理得，代入初始条件得，所以，。7. 设曲线，证明：证：先将对弧长的曲线积分化为定积分：，则由定积分的性质，得。利用调和平均值、几何平均值与算术平均值不等式,得。所以，有。因此，。8. 计算，其中。分析：一型曲面（曲线）积分的常用计算方法：奇偶对称轮换对称将积分区域的方程代入被积函数转化为二型积分解:方法1（利用对称性）从曲面方程中看出，x与z地位对等，且曲面关于平面是对称的，故有，。所以，有。注:利用物理意义，可得，其中为曲面的质心。方法2（I型化II型）曲面的外法线单位向量为，将第一型曲面积分化为第二型曲面积分，得。又由高斯公式，知，其中，是由曲面所围成的球体：。所以，。方法3（直接计算）将曲面分成上下两个半球面，上半球面的方程为。且。因为被积函数是关于z的偶函数，曲面关于面对称，。作广义极坐标变换，得，其中，。在上式右端积分中，再令，得。9. 设是原点到椭球面上点处的切平面的距离，求。解：令，则，则点处切平面的法向量为，切平面方程为，方法一（一二型互换）面上处的外侧法向量为，其方向余弦为：由高斯公式得方法二（转化为二重积分）其中，10. 设f(x)在a,b上二阶可导，求证：使得证明：将f(x)在x=a,x=b处用泰勒公式展开得介于x,a之间，介于x,b之间，两式相减得设，则11. 设f(x)在上有二阶连续导数，且当时，求证：。分析：对于函数具有二阶或二阶以上连续导数，且最高阶导数的大小或上下界已知的命题可以考虑用泰勒公式。方法是写出比最高阶低一阶的函数展开成泰勒公式，适当选取等式两边的变量，根据已知条件对展开式进行放缩。证明：由题意将f(x)在任
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