浙江省名校协作体2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）.doc

浙江省名校协作体2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）参考公式：柱体的体积公式：，其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高；锥体的体积公式：，其中s表示锥体的底面积，h表示锥体的高；台体的体积公式：，其中，分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高；球的表面积公式：，球的体积公式：，其中r表示球的半径；如果事件a，b互斥，那么；如果事件a，b相互独立，那么；如果事件a在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求得的补集，然后求补集与的交集.【详解】依题意可知，所以，故选c.【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（ ）a. b. 2c. d. 1【答案】a【解析】【分析】先求得，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.【详解】依题意，故，故选a.【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.3.若函数的图象总在x轴上方，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据二次函数图像总在x轴上方，利用特殊点的函数值，求出正确选项.【详解】由于二次函数图像总在x轴上方，故，化简得，故选d.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，属于基础题.4.已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为恒成立，即故选d点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5.已知函数，则下列结论正确的是a. 是偶函数，递增区间是b. 是偶函数，递减区间是c. 是奇函数，递减区间是d. 是奇函数，递增区间是【答案】c【解析】将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)，画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减6.已知平面与平面交于直线l，且直线，直线，且直线a，b，l不重合，则下列命题错误的是（ ）a. 若，且与不垂直，则b. 若，则c. 若，且与不平行，则d. 若，则【答案】d【解析】【分析】根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项.【详解】根据面面垂直的性质定理可知，a,b两个选项命题正确.对于c选项，根据线面垂直的判定定理可知平面，由于，所以，故c选项命题正确.对于d选项，命题不满足面面垂直的判定定理，可以不垂直，故d选项错误.综上所述，本小题选d.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.7.已知等比数列中，若，则（ ）a. 4b. 5c. 16d. 25【答案】b【解析】【分析】根据已知化简，由此求得表达式的值.【详解】依题意得，即，而.【点睛】本小题主要考查等比数列通项基本量计算，属于基础题.8.已知a，b为实数，则“不等式对任意成立”是“且”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】将两者相互推导，根据相互推导的结果判断充分、必要性，由此得出正确选项.【详解】当时，令得即，令，即，也即，故且.当“且”时，不妨设，此时对任意不恒成立.综上所述，“不等式对任意成立”“且”充分不必要条件，故选a.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式，属于中档题.9.已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）a. 12b. 8c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据解出，代入，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】由，得，依题意，这个方程有解，且，故解得，所以.此时.故选c.【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根，考查基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知椭圆内有一定点，过点p的两条直线，分别与椭圆交于a、c和b、d两点，且满足，若变化时，直线cd的斜率总为，则椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选a.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、填空题。11.计算：_，_【答案】 (1). 2 (2). 2【解析】【分析】利用指数运算公式、对数运算公式对所求表达式进行化简.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.设函数，则_，若，则实数x的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算出，利用二倍角公式，结合一元二次不等式的解法，求得的取值范围.【详解】依题意.，令，则函数变为，画出函数图像如下图所示，由图可知的解集为，即，解得.【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查二倍角公式，考查二次函数图像与性质，考查一元二次不等式的解法，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于_；该几何体的体积为_【答案】 (1). (2). 【解析】分析】根据三视图判断出组合体的结构特征，并由此计算出最长的棱长，并求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合而成.其中半圆锥的母线长为，四棱锥的底面为正方形，且边长为，四条侧棱，其中两条长度为，另外两条长度为.所以几何体最长的棱长为.体积为.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥，棱锥体积计算，属于基础题.14.已知点p在椭圆上，点q，r分别在圆和圆上运动，若过点p存在直线l同时与两圆相切，这样的点p的个数为_；当点p在椭圆上运动，则的最大值为_【答案】 (1). 6 (2). 6【解析】【分析】画出图像，根据圆和圆公切线的情况，确定点的个数.将的最大值，转化为来求解.【详解】椭圆，圆的圆心为，为椭圆的左焦点，半径为，圆的圆心为，为椭圆的右焦点，半径为.画出椭圆和圆的图像如下图所示，由图可知，两个圆外切，公切线为，这三条切线与椭圆相交于个点，当位于这个点时，过点p存在直线l同时与两圆相切. 的最大值为，根据椭圆的定义可知.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查两个圆外切的公切线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.已知数列为等差数列，公差为，且满足，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式化简已知条件，化简后求得的值.【详解】由于等差数列公差为，故由得，依题意，故上式可化为，即.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，_【答案】【解析】【分析】设三条高分别为，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为最大来求解.【详解】依题意可知，三条高分别为，根据三角形面积公式有，故，而，即，所以.故当取得最大值时，三条高乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线，作的垂直平分线，交直线于.过上一点作圆，使圆经过三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，由余弦定理得，.即三角形的三条高的乘积取最大值时. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.17.已知非零的平面向量满足，又平面向量满足，若，则的取值范围是_【答案】【解析】分析】设出三个向量的坐标，根据题目所给条件列方程或不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，以为基底建立平面直角坐标系，设，.由，及得，.由+得，即.将代入得，化简得，故.所以则的取值范围是.【点睛】本小题主要考查坐标法求向量模的取值范围，考查平面向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题.18.在中，设角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角b的大小；（2）求的取值范围【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）用正弦定理化简已知条件转化为边的形式，再由余弦定理求得的值，进而求得的大小.（2）利用降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，化简所求表达式，利用三角函数值域的求法，求得表达式的取值范围.【详解】（1）由得到即所以，从而（2）因为所以所以【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.19.如图，四面体abcd中，二面角的大小为，（1）若，m是bc的中点，n在线段dc上，求证：平面amn；（2）当bp与平面acd所成角最大时，求的值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面平面，由此证得平面.（2）作出直线与平面所成的角，根据所成角的最大值，求得的值.【详解】（1）取dn的中点e，连接pe、be，pe、be是平面amn外两条相交直线，所以平面平面amn，所以平面amn.（2）作与g，在平面dac内作交ad于h，二面角的平面角为,因为，所以h为ad的中点，得是正三角形易得平面平面dac，作，则为gh的中点，,连接pi，根据面面垂直的性质定理，有平面.则是bp与平面acd所成角在中，为定值，故当时，即最短时，取得最大值，取得最大，在中,，故，,故【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质，考查线面角的作法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知等差数列与数列满足，且的前n项和，（1）求，的通项公式；（2）设的前n项和为，若，求n的最小值【答案】(1) ； (2)10【解析】【分析】（1）利用已知条件求得的值，结合的值求得数列的通项公式.利用求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得的表达式，解不等式求得的最小值.【详解】解：（1），所以，又，所以时，此时，又，所以（2），所以，得，n最小值为10【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查已知求，考查裂项求和法，考查指数不等式的解法，属于中档题.21.如图，过点作两条直线和l分别交抛物线于a，b和c，d（其中a，c位于x轴上方，l的斜率大于0），直线ac，bd交于点q（1）求证：点q在定直线上；（2）若，求的最小值【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）设出两点的坐标和直线的方程，将直线的方程代入抛物线方程，写出根于系数关系.洗出直线的方程，化简后求得点在直线上.（2）先求得，根据以及，求得的表达式，利用换元法和基本不等式求得的最小值.【详解】（1）设，代入得，所以，消y得，故点q在上（2），因为，所以，令，则，当时取到【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题，考查直线和直线交点的求法，考查利用换元法和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知，（1）若在恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，求证：【答案】(1) ； (2)见证明【解析】【分析】（1）化简不等式，分离常数，构造函数，利用导