浙江省苍南县“姜立夫杯”2017年高二数学上学期竞赛试题.doc

浙江省苍南县“姜立夫杯”2017年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1已知集合，则的非空真子集有（ ）a31个 b30个 c15个 d14个2设正项等比数列的前项和为，且，则数列的公比为（ ）a b c d3若函数（且）的值域为，则实数的取值范围为（ ）a b c d4方程共有（ ）实根（第5题）a个 b个 c个 d个或个以上 5如图，在三棱锥中，均为等边三角形，且。则二面角的余弦值为（ ）a b c d6若实数满足，则的最大值为（ ）a b c d 2 7已知正方体的棱长为，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则的最小值为（ ）a b c d8已知共面向量，满足，且若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）a b c d2、 填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9设是定义在上的函数，对任意实数有。又当时，则的值为 10. 过直线上一点作圆：的切线、，、为切点。若直线、关于直线对称，则线段的长为 11在中，为边的中点，动点在线段上移动时，若，则的最小值是 12已知的周长为，内切圆的半径为，则的值为 13已知正数满足，则的最小值为 14已知直线：与幂函数（）的图像交于，两点，且。设符号表示不超过的最大整数，记（），则的值为 2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷座位号一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345678答案二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9._ 10._11._ 12._13._ 14._三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15若函数(1) 设，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(2)集合，,若，求实数的取值范围16若定义域为的函数同时满足以下三个条件：对任意的，总有；若，且，则有成立，就称为“姜立夫函数”.请解答下列各题：(1)若为“姜立夫函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“姜立夫函数”？并给出理由.(3)已知为“姜立夫函数”，假定存在，使得且，请判断，这三个式子哪一个能成立？并说明理由.17已知数列满足.(1)证明：；(2)证明：.2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）题号12345678答案bcacbbcd二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）9. 10. 2 11. 12. 13. 14. 4三、 解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程）15若函数(1) 设，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(2)集合，,若，求实数的取值范围解：(1)因为 因在上是增函数，所以，则，解得 (2) 由有.因为，所以，即当时，不等式恒成立，所以因，故16若定义域为的函数同时满足以下三个条件：对任意的，总有；若，且，则有成立，就称为“姜立夫函数”.请解答下列各题：(1)若为“姜立夫函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“姜立夫函数”？并给出理由.(3)已知为“姜立夫函数”，假定存在，使得且，请判断，这三个式子哪一个能成立？并说明理由.解：（1）取得，又，得. （2）显然在上满足 ；.若，且，则有. 故满足条件、，所以为“姜立夫函数”. (3) 依题意必有.由知任给其中，且有，不妨设则必有：所以，所以，.下面用反证法证明：假设，则有或(1) 若，则，这与矛盾；(2) 若，则，这与矛盾； 故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.17已知数列满足.(1)证明：；(